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$\sin a$, c’est-à-dire de la moitié de tous les arcs représentés par les formules (29)

$2n\pi +a,\quad (2n+1)\pi -a.$

On doit donc obtenir

$\sin \left(n\pi +{\frac {a}{2}}\right)$xx et xx$\cos \left(n\pi +{\frac {a}{2}}\right)$.

$\sin \left(n\pi +{\frac {\pi -a}{2}}\right)$xx et xx$\cos \left(n\pi +{\frac {\pi -a}{2}}\right)$.

Or le sinus et le cosinus d’un arc ne changent pas quand l’arc est diminué d’un nombre pair de demi-circonférences positives ou négatives, et ne font que changer de signe quand le nombre de ces demi-circonférences est impair.

D’après cela, on a

$\sin \left(n\pi +{\frac {a}{2}}\right)=$

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$\quad \sin {\frac {a}{2}}$ pour $n$ pair ou $n=0,$

$-\sin {\frac {a}{2}}$ pour $n$ impair.

$\sin \left(n\pi +{\frac {\pi -a}{2}}\right)=$

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$\quad \sin {\frac {\pi -a}{2}}$ pour $n$ pair ou $n=0,$

$\quad \sin \left(\pi +{\frac {\pi -a}{2}}\right)=-\sin {\frac {\pi -a}{2}}$ pour $n$ impair.

$\cos \left(n\pi +{\frac {a}{2}}\right)=$

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$\quad \cos {\frac {a}{2}}$ pour $n$ pair ou $n=0,$

$-\cos {\frac {a}{2}}$ pour $n$ impair.

$\cos \left(n\pi +{\frac {\pi -a}{2}}\right)=$

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$\quad \cos {\frac {\pi -a}{2}}$ pour $n$ pair ou $n=0,$

$\quad \cos \left(\pi +{\frac {\pi -a}{2}}\right)=-\cos {\frac {\pi -a}{2}}$ pour $n$ impair.

De plus, comme les arcs ${\frac {a}{2}}$ et ${\frac {\pi -a}{2}}$ sont complémentaires, on a encore

$\sin {\frac {a}{2}}=\cos {\frac {\pi -a}{2}}$xx et xx$\sin {\frac {\pi -a}{2}}=\cos {\frac {a}{2}}$.