En résolvant ces deux équations par la méthode ordinaire, on trouve
![{\displaystyle \sin a=\pm {\frac {k}{\sqrt {1+k^{2}}}},\qquad \cos a=\pm {\frac {1}{\sqrt {1+k^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e659b20f26b44842bd23eddce636a749293586e)
.
Il faut observer que, pour une tangente donnée
, on trouve deux sinus égaux et de signes contraires, et qu’il en est de même pour le cosinus.
En effet, la tangente donnée
correspondant non-seulement à l’arc
, mais à tous les arcs représentés par la formule (33)
, on doit obtenir le sinus et le cosinus de tous ces arcs,
c’est-à-dire
et
.
Or tous ces sinus se réduisent à deux, ainsi que ces cosinus.
En effet, si on prend
pair, on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(n\pi +a)&=\sin a,\\\cos(n\pi +a)&=\cos a\;;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5da24f3895804cc20cb5385f2ffe698ff6f765c9)
car une ligne trigonométrique ne change pas quand son arc est augmenté ou diminué d’un nombre entier de circonférences.
Si on prend
impair, on a, pour la même raison,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(n\pi +a)&=\sin(\pi +a)=-\sin a,\\\cos(n\pi +a)&=\cos(\pi +a)=-\cos a.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fdabd15ad03515a27fb96642faa6fc2a2e882c6)
Cela est facile à vérifier sur une figure.
65. Problème. — Calculer
et
en fonction de
.
Prenons les équations
![{\displaystyle 2\sin {\frac {a}{2}}\cos {\frac {a}{2}}=\sin a,\qquad \sin ^{2}{\frac {a}{2}}+\cos ^{2}{\frac {a}{2}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b03137718fecef12e6d271e87be7067d8c0ae4d)
,
fournies par les formules (10) et (1).
En représentant
par
et
par
, on a à résoudre les équations
![{\displaystyle 2xy=\sin a,\qquad x^{2}+y^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe35d433f25cf140d2d56201fd2c8ef548aa6acf)
.