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or on a aussi

$-\sin a=\sin(-a),\ \cos b=\cos(-b),\ -\sin b=\sin(-b),\ \cos a=\cos(-a)\;;$
on obtiendra, par la substitution de ces valeurs,
$\sin(-a-b)=\sin(-a)\cos(-b)+\sin(-b)\cos(-a)\;;$
on aurait de même
$\cos(-a-b)=\cos(-a)\cos(-b)-\sin(-a)\sin(-b).$

Ainsi, pour trouver le sinus et le cosinus de la somme de deux arcs négatifs, on doit suivre la même règle que pour deux arcs positifs.

63. Autre démonstration des formules (8) et (9).

Soient (fig. 22) deux arcs quelconques $\mathrm {AM} =a$ et $\mathrm {AL} =b$ ; l’arc $\mathrm {ML}$ sera égal à $a-b$. Si l’on tire $\mathrm {MN}$ et $\mathrm {LQ}$ perpendiculaires à $\mathrm {AA^{\prime }}$ et $\mathrm {MC}$ parallèle à

Fig. 22.

$\mathrm {AA^{\prime }}$, on aura $\mathrm {MP} =\sin a,\ \mathrm {LQ} =\sin b,\ \mathrm {OQ} =\cos b,\ -\mathrm {OP} =\cos a,$
d’où $\mathrm {OP} =-\cos a$.

Le triangle $\mathrm {MOL}$ donne, d’après le n^o 30,

${\overline {\mathrm {ML} }}^{2}={\overline {\mathrm {MO} }}^{2}+{\overline {\mathrm {LO} }}^{2}-2\mathrm {MO} \times \mathrm {LO} \cos \mathrm {MOL} =2-2\cos(a-b)$.

Le triangle rectangle $\mathrm {MCL}$ donne aussi
-----${\begin{aligned}{\overline {\mathrm {ML} }}^{2}&={\overline {\mathrm {MC} }}^{2}+{\overline {\mathrm {LC} }}^{2}=\mathrm {(PO+OQ)} ^{2}+\mathrm {(LQ-MP)} ^{2}\\&=(-\cos a+\cos b)^{2}+(\sin b-\sin a)^{2}.\end{aligned}}$

En effectuant les carrés, et en se rappelant qu’on a $\sin ^{2}a+\cos ^{2}a=1$,
on trouve

${\overline {\mathrm {ML} }}^{2}=2-2\cos a\cos b-2\sin a\sin b$.