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En substituant ces valeurs dans les deux égalités précédentes, on trouve

                ${\begin{aligned}\cos(m+v)&=\cos m\cos v-\sin m\sin v,\\\sin(m+v)&=\sin m\cos v+\sin v\cos m.\end{aligned}}$

Cette démonstration fait voir qu’on pourrait augmenter l’arc m encore d’un quadrant, puis d’un second, etc., ainsi que l’arc v ; donc les formules (8) sont vraies pour deux arcs quelconques positifs.

3^o Démontrons maintenant que les formules

(9)	$\sin(a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a$
	$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$

sont vraies, quels que soient les arcs positifs a et b.

Soit $b>a$. On peut augmenter a d’un nombre entier positif de circonférences $2n\pi$ assez grand pour que l’arc $2n\pi -b$ soit positif, ce qui ne change pas le sinus et le cosinus. Les deux arcs $a$ et $2n\pi -b$ étant positif, on a

$\sin(a+2n\pi -b)=\sin a\cos(2n\pi -b)+\sin(2n\pi -b)\cos a,$
xxx $\cos(a+2n\pi -b)=\cos a\cos(2n\pi -b)-\sin a\sin(2n\pi -b).$

On peut ôter un nombre entier de circonférences $2n\pi$ à ces arcs sans altérer les lignes trigonométriques ; on a donc

$\sin(a-b)=\sin a\cos(-b)+\sin(-b)\cos a,$
xxxx $\cos(a-b)=\cos a\cos(-b)-\sin a\sin(-b)\;;$

ou

$\sin(a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a,$
xxxx $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\;;$
ce qui démontre la question.

4^o Les formules s’appliquent aussi au cas où les deux arcs seraient négatifs.

En effet, on a

$\sin(-a-b)=-\sin(a+b)=-\sin a\cos b-\sin b\cos a\;;$