Remplaçant par , et par , afin d’éliminer et , on obtient
xx
xx
Or on a
xxxx
En substituant ces valeurs dans les deux égalités précédentes, on trouve
(p)
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ce qui montre que la règle exprimée par les formules (8) s’applique aussi au cas de deux arcs dont la somme ne surpasse pas 180°, chacun étant moindre que 90°.
2o Les deux formules démontrées pour les deux arcs u et v sont encore vraies si l’on augmente ces deux arcs d’un nombre quelconque de quadrants.
En effet, ajoutons d’abord 90° à l’arc u ; soit
,
xx d’où
xx.
Remplaçant u par cette valeur dans les formules (p), nous aurons
,
xxx .
Or, quand on change le signe d’un arc, son cosinus ne change pas, mais le sinus prend un signe contraire (no 60) ; on aura donc