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formule
(30)                                $2n\pi \pm a$.

3^o En faisant le même raisonnement, on trouvera facilement, pour les arcs correspondant à une sécante donnée,
(31)                                $2n\pi \pm a$ ;
pour les arcs correspondant à une cosécante donnée
(32)                    $2n\pi \pm a,\quad (2n+1)\pi -a$ ;
pour les arcs correspondant à une tangente et une cotangente données (33)                                $n\pi +a$.

62. Formules relatives à la somme et à la différence de deux arcs.

Cette question a été traitée au n^o 35 pour deux arcs a et b, dont la somme ne surpasse pas 180°, l’arc b étant plus petit que l’arc a pour le sinus et le cosinus de la différence $a-b$. Nous allons montrer que les formules s’appliquent à deux arcs quelconques. Nous partirons de ce point qu’elles sont démontrées pour le cas où les deux arcs a et b font une somme moindre que 90° comme dans la figure 12.

Considérons d’abord les deux formules

(8)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}\right.$

$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a$

$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.$

1^o Démontrons qu’elles conviennent à deux arcs u et v dont la somme $u+v$ est $>90^{\circ }$, chacun étant $<90^{\circ }$.

Soient $u^{\prime }$ et $v^{\prime }$, leurs compléments ; on aura

$u^{\prime }=90^{\circ }-u\;;\quad v^{\prime }=90^{\circ }-v\;;\quad u^{\prime }+v^{\prime }<90^{\circ }$.

Les deux arcs $u^{\prime }$ et $v^{\prime }$ étant dans le cas pour lequel les formules ont été démontrées, on a

${\begin{aligned}\qquad \qquad \sin(u^{\prime }+v^{\prime })&=\sin u^{\prime }\cos v^{\prime }+\sin v^{\prime }\cos u^{\prime },\\\cos(u^{\prime }+v^{\prime })&=\cos u^{\prime }\cos v^{\prime }-\sin u^{\prime }\sin v^{\prime }.\end{aligned}}$