problèmes ressortissant aux permutations et aux combinaisons.
Dans un ingénieux essai sur les travaux mathématiques de Pascal, M. Délègue a expliqué, en 1869, comment ce traité contient tous les éléments d’une démonstration complète et très élégante de la formule du binôme de Newton.
Ce n’est pas tout : le Traité de la sommation des puissances numériques, qui fait suite au traité du triangle arithmétique, renferme, comme le montre encore M. Délègue, antérieurement à l’Arithmetica infinitorum de Wallis, qui n’est que de 1655, les éléments du calcul différentiel et intégral. Dépassant le point de vue géométrique, Pascal considère les grandeurs algébriquement. Ses propositions s’appliquent à toute grandeur continue, quelles qu’en soient les dimensions ou les puissances.
Pascal employa aussi son triangle arithmétique pour la solution de questions relatives à la théorie des probabilités ou règles des partis. Le problème général était le suivant. Deux joueurs considérés comme également habiles rompent le jeu avant la fin. En ce cas, le règlement de ce qui doit leur appartenir doit être tellement proportionné à ce qu’ils avaient droit d’espérer de la fortune, que chacun d’eux trouve entièrement égal de prendre ce qu’on lui assigne, ou de continuer l’aventure du jeu : et cette juste distribution s’appelle le parti. Pascal et Fermat échangent leurs découvertes, et Pascal s’émerveille de l’identité des résultats auxquels ils arrivent, alors que chacun médite de son côté. Il est persuadé que le vrai moyen pour lui de ne point
