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Les systèmes d’unités et sous-unités ainsi définis, tels que le système : kilomètre, hectomètre, mètre, décimètre…, ou le système : kilogramme, hectogramme, gramme, décigramne'… sont des systèmes de mesures décimales ; leur ensemble constitue ce que l’on appelle un « système décimal de mesures^[1] »

63. Mesures définies par des racines. – La mesure que nous venons de définir (comme nombre rationnel) est exacte ou approchée. La distinction ainsi établie entre deux sortes de mesures n’est point accidentelle, car il existe manifestement des grandeurs qui ne peuvent être exactement mesurées par rapport à aucune fraction de l’unité. Considérons, par exemple, le triangle $\mathrm {ABC}$ fig. 19 qui est rectangle en $\mathrm {A}$ (c’est-à-dire où l’angle $\mathrm {A}$ est un angle droit, dont les côtés $\mathrm {AB}$ et $\mathrm {AC}$ sont égaux, et qui a une hypoténuse côté $\mathrm {BC}$ opposé à l’angle droit) égale à $1$ mètre. Le théorème de Pythagore^[2] nous apprend que la mesure exacte en mètres de la longueur $\mathrm {AB}$ ne pourrait être que la racine carré du nombre \frac{1}{2}\,; or cette racine, comme celle de $2,$ n’est pas un nombre rationnel^[3] (n^o 37).

Nous pourrions, il est vrai, en ce cas encore, attribuer un sens aux mots « la mesure exacte » : celle-ci ne serait plus un nombre, mais elle serait du moins définie déduite de l’unité par une opération arithmétique simple extraction de racine qui peut être effectuée, nous le savons, avec une approximation aussi grande que l’on vent, n^o 48.

N’est-il pas permis de généraliser cette manière de voir et de

1. Le système de mesures adopté par la loi française (système métrique) est, en majeure partie, décimal (vide infra, n^o 104).
2. Vide infra, 199.
3. La longueur $\mathrm {AB}$ et l’unité sont, suivant Euclide, commensurables en puissance, car aux termes de la déf. 3 du liv. X des Éléments, « deux segments sont commensurables en puissance si les carrés construits sur eux peuvent être mesurés [exactement] avec une même unité d’aire ». Le contemporain de Platon, Théètète d’Athènes, avait fait une étude approfondie des grandeurs {{incise|définies par les figures géométriques classiques} qui sont incommensurables avec l’unité. La classification qu’il en avait donnée est sans doute, à peu de choses près, celle qu’expose Euclide au livre X des Éléments.