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les juxtaposer de manière qu’ils aient même sommet $\mathrm {O,}$ un côté commun $\mathrm {OB}$ et soient situés de part et d’autre de ce côté : les deux angles occupent alors les positions^[1] $\mathrm {AOB}$ et $\mathrm {BOC}$ fig. 6): on dit qu’ils sont adjacents. L’angle $\mathrm {AOC}$ formé par la réumien des deux angles donnés peut être considéré comme leur somme.

On peut faire la différence de deux angles. Pour cela, on justapose encore les deux angles en leur donnant même sommet et un côté commun, mais le plus petit angle est placé cette fois à l’intérieur du plus grand. Ainsi (voir la figure 5) la différence entre l’angle $\mathrm {A'OB}$ (qui est le plus grand angle possible et l’angle \mathrm{AOB} est l’angle $\mathrm {A'OA}$ : cet angle est dit supplément ou supplémentaire de l’angle $\mathrm {AOB} .$

Enfin, on peut diviser un angle quelconque en un nombre quelconque de parties égales. Ainsi, sur la figure 7, l’angle $\mathrm {AOB}$ est divisé en deux angles égaux, $\mathrm {AOD}$ et $\mathrm {DOB} \,:$ la droite $\mathrm {OD}$ qui partage l’angle en deux en est la bissectrice^[2]. Les angles partiels pourraient être divisés à leur tour, et ainsi de suite indéfiniment.

↑ Nous faisons la figure en nous plaçant dans le cas où les deux angles proposés sont aigus (voir ci-dessous). Lorsque les angles sont obtus, il faut pour justifier pleinement la définition de leur somme, faire appel aux conventions de la trigonométrie que nous développerons plus loin.
↑ Si nous prolongeons au-delà du point $\mathrm {O}$ les deux côtés de l’angle nous formons quatre angles $\mathrm {AOB,BOB',A'OB,A'OA}$ (fig. 8) dont les bissectrices $\mathrm {OD,OD',OD_{1},OD'_{1}} ,$ sont en prolongement deux à deux. On démontre facilement que les deux droites $\mathrm {D'OD} ,$ $\mathrm {D'_{1}OD_{1}}$ sont perpendiculaires l’une sur l’autre (forment un angle droit, voir ci-dessous). En effet, l’angle $\mathrm {DOD'_{1}} ,$ est la somme de $\mathrm {DOA}$ (moitié de $\mathrm {BOA}$ ), et de $\mathrm {AOD'_{1},}$ (moitié de $\mathrm {AOA'}$ ) ; donc il est la moitié de l’angle $\mathrm {BOA'}$ somme de $\mathrm {BOA}$ et $\mathrm {AOA} ',$ qui est le plus grand angle possible deux droits.

[1] Nous faisons la figure en nous plaçant dans le cas où les deux angles proposés sont aigus (voir ci-dessous). Lorsque les angles sont obtus, il faut pour justifier pleinement la définition de leur somme, faire appel aux conventions de la trigonométrie que nous développerons plus loin.

[2] Si nous prolongeons au-delà du point $\mathrm {O}$ les deux côtés de l’angle nous formons quatre angles $\mathrm {AOB,BOB',A'OB,A'OA}$ (fig. 8) dont les bissectrices $\mathrm {OD,OD',OD_{1},OD'_{1}} ,$ sont en prolongement deux à deux. On démontre facilement que les deux droites $\mathrm {D'OD} ,$ $\mathrm {D'_{1}OD_{1}}$ sont perpendiculaires l’une sur l’autre (forment un angle droit, voir ci-dessous). En effet, l’angle $\mathrm {DOD'_{1}} ,$ est la somme de $\mathrm {DOA}$ (moitié de $\mathrm {BOA}$ ), et de $\mathrm {AOD'_{1},}$ (moitié de $\mathrm {AOA'}$ ) ; donc il est la moitié de l’angle $\mathrm {BOA'}$ somme de $\mathrm {BOA}$ et $\mathrm {AOA} ',$ qui est le plus grand angle possible deux droits.

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