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En effet, les propriétés fondamentales des puissances à exposants entiers sont résumées (voir n^os 9 et 36) par les égalités suivantes^[1] :

(1)

$a^{p}\times a^{q}=a^{p+q}$

(2)

${\frac {a^{p}}{a^{q}}}=a^{p-q},{\text{ si }}p>q\quad {\text{ou}}\quad {\frac {a^{p}}{a^{q}}}={\frac {1}{a^{q-p}}},{\text{ si }}q>p$

(3)

$\left(a^{p}\right)^{q}=a^{p.q}=\left(a^{q}\right)^{p}.$

Remarquons d’abord que la définition même des puissances $a^{\frac {1}{n}},\,a^{\frac {m}{n}}$ donne

$\left(a^{n}\right)^{\frac {1}{n}}=a,\qquad \left(a^{\frac {m}{n}}\right)^{\frac {n}{m}}=a,$

ce qui est conforme à la propriété numérotée (3).

Je dis, d’autre part, que les puissances fractionnaires jouissent de la propriété (1), c’est-à-dire que l’on a

$a^{\frac {m}{n}}\times a^{\frac {m'}{n'}}=a^{{\frac {m}{n}}+{\frac {m'}{n'}}}=a^{\frac {m.n'+m'.n}{n.n'}}$

quelles que soient les fractions^[2] ${\frac {m}{n}},\,{\frac {m'}{n'}}.$ Posons, en effet

$b=a^{\frac {m}{n}},\qquad c=a^{\frac {m'}{n'}},\qquad d=a^{\frac {m.n'+m'.n}{n.n'}}.$

Je tire de là, par définition :

$b^{n}=a^{m},\qquad c^{n}=a^{m'}\,;\quad {\text{donc}}\quad b^{n.n'}=a^{m.n'},\qquad c^{n'.n}=a^{m'.n}\,;$

et, par conséquent

$(b\times c)^{n.n'}=b^{n.n'}\times c^{n.n'}=a^{m.n'+m'.n}\,;\quad {\text{d’où}}\quad b\times c=d,$

ce qu’il fallait démontrer.

Un calcul analogue nous permettra de vérifier que les puissances

1. Les signes $\times$ et $\cdot$ s’emploient indistinctement dans le sens de multiplié par (n^o 7) ; par $\left(a^{p}\right)^{q}$ j’entends « puissance $q$^ème de $a^{p}$ ».
2. Les symboles $m',n'$ se lisent $m$ prime, $n$ prime ; je m’en sers pour représenter des nombres autres que $m$ et $n,$ mais jouant un rôle équivalent (cf. p. 14, note 1).