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(c’est-à-dire $a)$ comme étant la racine $p$^ième à une unité près par défaut de ${\frac {\mathrm {M} }{m}}\,;$ $(a+1)$ est la racine $p$^ième à une unité près par excès de ${\frac {\mathrm {M} }{m}}.$

Soit demandé, maintenant, de trouver la « valeur approchée de la racine $p$^ième de ${\frac {\mathrm {M} }{m}}$ à ${\frac {1}{10}}$ près ». Considérons la suite croissante des fractions

${\frac {1}{10}},\quad {\frac {2}{10}},\quad {\frac {3}{10}},\quad \ldots$

et la suite de leurs puissances $p$^ièmes

${\frac {1}{10^{p}}},\quad {\frac {2^{p}}{10^{p}}},\quad {\frac {3^{p}}{10^{p}}},\quad \ldots$

Il y a dans cette dernière suite deux termes consécutifs ${\frac {b^{p}}{10^{p}}},\,{\frac {(b+1)^{p}}{10^{p}}}$ et deux seulement ; entre lesquels est comprise la fraction ${\frac {\mathrm {M} }{m}}.$ Je dois donc regarder ${\frac {b}{10}}$ et ${\frac {b+1}{10}}$ (quantités différant d’un dixième) comme étant les valeurs approchées à un dixième près, par défaut et par excès, de la racine considérée.

De la même manière, on définira la valeur approchée de la racine $p$^ième de ${\frac {\mathrm {M} }{m}}$ à un degré quelconque d’approximation.

On remarquera que les racines approchées, calculées comme il vient d’être dit, sont toutes des nombres décimaux.

49. – Ainsi, voilà une « expression » arithmétique, la racine $p$^ième (ou racine d’ordre $p)$ d’une fraction quelconque, qui ne représente aucun nombre, et qui néanmoins se prête au calcul numérique. Il y a, il est vrai, dans le calcul approché, quelque chose d’artificiel et d’imprécis, qui répugnait au rationalisme grec et incitait les Pythagoriciens à rejeter ce calcul de la science. Cependant, on ne pouvait manquer de l’y introduire, ne fût-ce que pour satisfaire les besoins de la géométrie^[1], et c’est ainsi qu’Ar-

1. Voir le chap. 11, en particulier, n^o 63.