illimitée |le mot illimitée signifiant que, si l’on veut pousser de plus en plus loin l’approximation, on doit, dans le nombre décimal qui représente la fraction, ajouter, indéfiniment, de nouvelles décimales|.
Les fractions décimales illimitées ont été étudiées par Cavalieri (Trigonometria, 1613, chap. xxiv) et, d’une manière plus complète et plus précise, par Wallis (Algebra, 1693, chap. lxxxix),
48. Valeur approchée d’une racine. – L’idée de remplacer le calcul exact par un calcul approximatif est une idée dont la fécondité nous apparaîtra de plus en plus. Proposons-nous de l’appliquer au problème de l’extraction des racines.
Nous avons vu (no 37) que l’extraction de la racine ième d’une fraction n’est pas toujours une opération possible. Je vais montrer en revanche que, quelle que soit la fraction on peut trouver une fraction dont la puissance ième diffère de aussi peu que l’on voudra. Il sera dès lors naturel de dire que la fraction est une valeur approchée de la racine ième de Ainsi, quoique cette racine ième ne soit pas en général un nombre rationnel, nous pourrons la traiter comme si elle en était un et la représenter par sa valeur approchée, que nous appellerons racine approchée.
Cherchons, par exemple, « la valeur approchée de la racine ième de à une unité près » – c’est-à-dire une fraction dont la puissance ième diffère de de moins d’une unité. Nous avons démontrẻ (no 40) que, quel que soit l’entier si et sont deux nombres quelconques, l’inégalité entraîne comme conséquence l’inégalité Écrivons alors la suite des nombres
Cette suite est une suite croissante de nombres de plus en plus grands : j’en conclus qu’il y a, dans cette suite, deux termes consécutifs et deux seulement, entre lesquels est comprise la fraction je dois donc regarder la racine ième du terme
