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ration proposée – diffère aussi per que l’on veut du résultat exact, à condition que l’on ait remplacé les fractions données par des valeurs suffisamment approchées. En d’autres termes, appelons erreur commise la différence entre la valeur exacte et la valeur approchée d’une fraction ou d’un résultat d’opération : puisque les erreurs commises sur les fractions peuvent être rendues aussi petites que l’on veut, il en sera de même de l’erreur commise sur le résultat du calcul.

Soit, par exemple, à additionner deux fractions $a$ et $b.$ Je puis écrire :

$a=\mathrm {A} +\alpha ,\qquad b=\mathrm {B} +\beta ,$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant des nombres décimaux et $\alpha$ et $\beta$ étant inférieurs à l’inverse ${\frac {1}{10^{p}}}$ d’une puissance de $10$ arbitrairement grande. J’aurai par conséquent :

$(a+b)=(\mathrm {A+B} )+(\alpha +\beta )$

$(\alpha +\beta )$ étant inférieur à ${\frac {2}{10^{p}}}$ et étant, par conséquent, aussi petit que l’on veut.

Soit maintenant à multiplier $a$ par $b.$ Je puis écrire :

$a\times b\mathrm {=(A+\alpha )\times (B+\beta )=(A\times B)+(A\times \beta )+(\alpha \times B)+(\alpha \times \beta )} .$

Or j’aurai

$\mathrm {A} \times \beta <{\frac {\mathrm {A} }{10^{p}}}\,;\qquad \alpha \times \mathrm {B} <{\frac {\mathrm {B} }{10^{p}}}\,;\qquad \alpha \times \beta <{\frac {1}{10^{p}\times 10^{p}}}={\frac {1}{10^{2p}}}.$

J’en conclus que, lorsque l’exposant $p$ est arbitrairement grand, la différence

$(a\times b)-(\mathrm {A} \times \mathrm {B} )$

est arbitrairement petite.

La même remarque s’applique à l’une quelconque des opérations fondamentales.

Ainsi, pourvu que l’on se contente d’une approximation déterminée – d’ailleurs aussi grande que l’on veut – on a le droit, dans la pratique, de remplacer une fraction quelconque par un nombre décimal. On exprime ce fait en disant qu’une fraction non décimale quelconque est réductible à une fraction décimale