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40. Inégalités. – On appelle inégalité la formule qui exprime qu’un nombre est supérieur ou inférieur à un autre nombre. Ainsi les formules

$4>3,\qquad {\frac {4}{3}}+1<{\frac {1}{2}}+2,$

sont des inégalités auxquelles satisfont respectivement les nombres $4$ et $3$ et les nombres ${\frac {4}{3}}+1,$ ${\frac {1}{2}}+2.$ La direction du signe $>$ ou $<$ indique le sens de l’inégalité. Les nombres ou expressions qui figurent de part et d’autre du signe $>$ ou $<$ sont les deux « membres » de l’inégalité^[1].

Lorsque deux nombres satisfont à une inégalité, les résultats d’une même opération, effectuée séparément sur l’un et l’autre de ces nombres, satisfont parallèlement à une inégalité correspondante. On dit que cette inégalité est une transformation de l’inégalité proposée. Accomplir cette transformation, c’est « effectuer une opération » sur l’inégalité proposée.

Les règles auxquelles obéit la transformation des inégalités se déduisent immédiatement des règles relatives aux opérations fondamentales.

Soit donnée l’inégalité $a<b$ et soit $c$ un nombre quelconque. Il est facile de voir que l’inégalité $a<b$ entraine les inégalités suivantes :

$a-c<b-c,\qquad ac<bc,\qquad {\frac {a}{c}}<{\frac {b}{c}}.$

Si $a$ est un nombre supérieur à $1,$ son inverse ${\frac {1}{a}}$ est inférieur à $1.$ Si $a<1,$ on a ${\frac {1}{a}}>1.$

Si $a$ est un nombre très grand^[2], ${\frac {1}{a}}$ est un nombre très petit ; si $a$ est très petit, ${\frac {1}{a}}$ est très grand.

1. On combine souvent les signes $>$ ou $<$ avec le signe $=$ écrivant $\geq$ pour signifier plus grand ou égal et $\leq$ pour signifier plus petit ou égal.
2. Toutes ces propositions sont des conséquences directes de la définition des fractions. Ainsi si l’on divise l’unité en un très grand nombre de parties, chaque partie ou fraction est très petite, etc.