Page:Boutroux - Les principes de l’analyse mathématique.djvu/57

$\mathrm {N} \times m$ est plus petit que $\mathrm {M} \times n\,;$ dans le premier cas, nous dirons que ${\frac {\mathrm {M} }{m}}$ est plus petit que (ou inférieur à} ${\frac {\mathrm {N} }{n}},$ et nous écrirons

${\frac {\mathrm {M} }{m}}<{\frac {\mathrm {N} }{n}}\,;\qquad {\frac {\mathrm {N} }{n}}>{\frac {\mathrm {M} }{m}}\,;$

dans le second cas, nous dirons ${\frac {\mathrm {M} }{m}}$ est plus grand que (supérieur à) ${\frac {\mathrm {N} }{n}},$ et nous écrirons

${\frac {\mathrm {M} }{m}}>{\frac {\mathrm {N} }{n}}\,;\qquad {\frac {\mathrm {N} }{n}}<{\frac {\mathrm {M} }{m}}.$

Ainsi, de deux nombres rationnels (entiers ou fractionnaires) quelconques, nous saurons toujours dire lequel est le plus grand, lequel est le plus petit.

J’ajoute que si^[1] $a$ et $b$ sont deux nombres rationnels quelconques, et si $a<b,$ tous les nombres inférieurs à $a$ sont, a fortiori, inférieurs à $b\,;$ tous les nombres supérieurs à $b$ sont, a fortiori, supérieurs à $a.$

Soit maintenant une collection quelconque de nombres $a,b,\ldots ,l.$ Nous pouvons, toujours, d’après ce qui précède, ranger ces nombres à côté les uns des autres, de manière à former une suite

$a,b,\ldots ,l$

jouissant des propriétés suivantes : tout nombre de la suite est supérieur aux nombres situés à sa gauche et inférieur aux nombres situés à sa droite. Une telle suite $a,b,\ldots ,l$ est dite suite de nombres croissants (ou suite croissante de nombres. La suite inverse $l,\ldots ,b,a$ est une suite de nombres décroissants.

Une suite de nombres rationnels croissants est analogue, on le voit, à la suite des nombres cardinaux (voir n^o 12), mais au lieu que deux nombres de cette dernière suite diffèrent d’une unité an moins, les éléments d’une suite de nombres rationnels peuvent être très rapprochés et ne différer que d’une très petite fraction d’unité (vide infra, n^o 42).

1. Je représente chaque nombre rationnel par une lettre unique comme je l’ai déjà fait au § 5.