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tangente le long de l’arc $\mathrm {CD}$ va se rapprochant du la direction $\mathrm {O} x,$ et la courbe a l’allure représentée par la fig. 217 ;

2^o Si $f(c)>0$ et $f(d)<0,$ le signe de $f''(x)$ étant $-,$ la direction de la tangente le long de $\mathrm {CD}$ va se rapprochant de la direction $\mathrm {O} y,$ et la courbe a l’allure représentée par la figure 218 ;

3^o et 4^o Si $f(c)<0$ et $f(d)>0,$ la courbe est montante. Elle a l’allure représentée par la figure 219 ou l’allure représentée par la figure 220 suivant que le signe de $f''(x)$ est $-$ ou $+.$

Fig. 217                                                       Fig. 218

Tels sont les quatre cas en présence desquels nous pourrons nous trouver si nous partons d’un intervalle c, d satisfaisant aux conditions que nous avons énoncées et qui se réduisent à ceci : $f(c)$ et $f(d)$ ont des signes contraires et les dérivées $f'(x),f''(x)$ ne s’annulent pas pour une valeur comprise entre $c$ et $d.$

Fig. 219                                                       Fig. 220

Cela posé, voyons comment nous obtiendrons des valeurs approchés de $\xi ,$ par défaut et par excès, qui soient plus voisines de la racine que les nombres $c$ et $d.$

Nous allons nous placer, pour fixer les idées dans le premier des quatre cas ci-dessus énumérés. Le lecteur n’aura pas de peine à appliquer aux trois autres cas la méthode ou les méthodes que nous allons exposer.

578. méthode des parties proportionnelles et méthode de Newton. — Traçant (sur la figure 221 où est reproduite la disposition de la figure 217) la droite $\mathrm {CD}$ qui coupe l’axe des $x$ en $\mathrm {N} ,$