540 - L'ALGÈBRE GÉOMÉTRIQUE
nombre pair, x-" est un nombre positif, quel que soit le signe de c ; nous exprimerons ce fait en disant que f(-∞) et f(+∞) ont tous deux le signe de a„ les extrémités —∞ et +∞ de la suite de Rolle fournissent le même signe . Si n est un nombre impair, x" le même signe que x : donc f(+∞) a le signe de an et f(—∞) a le signe contraire (’). Ainsi, lorsque l’on aura affaire à un polynôme, il sera commode de prendre connue extrémités de la suite de Rolle, les nombres -∞ et +∞. On devra cependant déterminer autrement ces extrémités si l’on veut avoir des valeurs approchées des racines, et non point seulement les séparer. On prendra alors comme valeur de a un nombre inférieur à ∞, aussi rapprocha que possible de a, et tel que f(a) et f(-∞) aient même signe, et comme valeur de b un nombre supérieur à λ , ausssi rapproché que possible de λ, tel que f(b) et f(+∞) aient même signe (2).
576. — Lorsque l’on a « séparé » les racines d’une équation f(x) = 0, la question qui se pose est la suivante : Etant donné un intervalle c, d qui contient une racine inomnue simple c (3) ξ et une seule, d'une équationa algébrqieu ou transcendante, et dont les extrémités sont, par conséquent des valeurs approchées de ∞ n 57, comment obtenirs des valeurs de ξ plus approchées de ξque c et d? Comment déterminer, en d'autres termes, un intervalle c, d intérieur à l'intervalle (c,d) plus petit qui comprenne lui aussi a valeur ξ? La question ainsi posée peut être traités indépendamment du
de la parenthèse, sauf le premier, tendent vers a ; donc la quantité entre parenthèses a pour signe le signe de an et f(x) a le signe de x",an. (1) De là résulte qu’une équation de degré impair a toujours au moins une racine réelle <cf. n°338).
(2) Le théorème suivant, par exemple, fournit une limite supérieure des racines positives : supposons pour fixer les idées le dernier coefficient a. positif, et désignons par s la somme des valeurs absolues des coefficients négatifs de l’équation, par p ta différence entre le degré de l’équation et l’exposant du premier terme à coefficient négatif (j’entends par « premier » celui qui a le plus haut degré) : le plus grand des deux nombres et p s a, est limite supérieure des racines de l’équation. — On détermine semblablement une limite inférieure des racines négatives. (3) Voir p.539 not 1.
