ÉTUDE GRAPHIQUE DES ÉQUATIONS. MÉTHODES D'APPROXIMATION 539
La suite des nombres α,Β,...,λ,b est souvent appelée suite de Rolle relative à l’équation f(x) = 0. Les nombres de cette suite «séparent» les racines simples (1) de f(x).
Figure 216
575. Extrémités de la suite de Rolle. — Les intervalles (a, α), (α,β), … que nous avons considérés ci-dessus ont tous été supposés compris dans un intervalle (a,b) où f(x) et f'(x) sont continues. Dans le cas où f(x) est un polynôme. cette fonction et sa dérivée sont continues pour toute valeur finie de la variable : nous pouvons donc prendre comme nombres a et b des nombres de valeur absolue arbitrairement grande, l’un négatif, l’autre positif : nous dirons alors — en nous référant aux signes introduits au n* 398 — que la suite de Rolle est composée des nombres -∞ , α,β,...,λ,+∞
D’ailleurs, lorsque l’on donne à x une valeur positive ou négative très grande, le polynôme f(x) a nécessairement le même signe {*) que son terme de plus haut degré, soit anx". Si n est un valle -a + a, qui comprend —1 et +1 et écrivons sous chacun des nombres — : i. — r, i, •. !, les signes qu’ils fournissent [c’est-à—dire les signes de f(-2), f(-1), f(3), nous obtenons :
d’où résulte que l’équation proposée a une racine dans chacun des intervalles (a1-, —, +,) ; elle a ses trois racines réelles. (4) Si f(x) a des racines multiples, ces racines font partie des nombres α, β,…, λ. Nous pourrions d’ailleurs nous dispenser de considérer le cas ou f(x) a des racines multiples multiples, étant donné que la résolution d’une équation polynomale quelconque paut toujours être ramenée à la résolution d’équations dont toutes les racines sont simples voir p.433. r. Soit f(x), polynôme de degré n et ordonné sous la forme
Nous pouvons écrire f(x) = x)an + an-1 Lorsque x devient arbitrairement grand en valeur absolue, tous les termes
