racines des fractions les plus simples ne sont pas, elles-mêmes, des fractions.
38. Nombres fractionnaires. Nombres rationnels. – Le calcul des fractions a été créé, nous l’avons dit, pour répondre aux besoins de la vie pratique et de la géométrie. Cependant, le développement même de l’arithmétique théorique devait nous conduire à ce calcul et nous inciter à le considérer, non pas simplement comme une annexe, mais comme une partie intégrante de de la science des nombres.
Les problèmes d’arithmétique que nous avons étudiés jusqu’ici se résolvent tous, remarquons-le, de la même manière : en effectuant sur des nombres proposés certaines opérations donnant comme résultats de nouveaux nombres. Ainsi, le monde des nombres est essentiellement, pour nous, une classe d’éléments abstraits, sur lesquels nous ne supposons rien, sinon qu’ils se prêtent à certaines opérations bien définies : nous savons qu’en combinant les éléments de cette classe suivant des règles arrêtées une fois pour toutes, nous obtiendrons, toujours et exclusivement, des éléments appartenant à la même classe.
Or, cette condition, qui équivaut pour nous à la définition du nombre, les fractions y satisfont comme les nombres cardinaux. En effet, nous savons effectuer sur les fractions les mêmes opérations que sur les nombres cardinaux, et, comme résultats des opérations effectuées, nous obtenons toujours des fractions. C’est pourquoi nous sommes tout naturellement amenés à assimiler les fractions à des nombres ; nous conviendrons de les appeler : nombres fractionnaires.
Mais nous savons que la classe des fractions comprend comme éléments particuliers l’ensemble des nombres entiers. Nous préciserons donc notre langage en convenant de réserver le nom de nombre fractionnaire aux fractions qui ne sont pas réductibles à des nombres entiers, et appelant, d’une manière générale, « nombre rationnel » un nombre entier on fractionnaire quelconque ; nous
