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$f'(x)=0,$ $f''(x)=0,$ que l’on est amené à considérer pour étudier l’équation $f(x)=0.$

Le théorème fondamental énoncé par Rolle peut être formulé en ces termes :

Soit f(x) une fonction que l’on considère à l’intérieur d’un intervalle $a,b,$ où elle est continue ainsi que sa dérivée $f'(x).$ Entre deux racines consécutives^[1] $\alpha$ et $\beta$ de la dérivée, appartenant à l’intervalle $a,b,$ il existe au plus une racine de fonction. — Entre deux racines consécutives de $f(x)\ [$dans l’intervalle $a,b]$ il y a au moins une racine de $f'(x).$

En effet, par hypothèse, lorsque $x$ croit entre $\alpha$ et $\beta ,$ la dérivée $f'(x)$ ne s’annule pas, et conserve donc le même signe ; la fonction ne cesse pas de croître ou de décroître : donc la courbe représentative

Fig. 214                                                       Fig. 215

ne peut franchir qu’une fois l’axe des $x\,;$ pour savoir si elle le franchit ou non, il suffira de voir si ses extrémités sont de part et d’autre ou du même côté de l’axe des $x,$ — c’est-à-dire si $f(\alpha )$ et $f(\beta )$ ont des signes contraires (comme sur la fig. 214) ou le même signe (comme sur la fig. 215). — Si $f(\alpha )$ ou $f(\beta )$ était nul, — c’est-à-dire si le nombre $\alpha$ ou $\beta$ était racine de $f(x)$ — la courbe ne pourrait en tout cas pas rencontrer l’axe en un second point d’abscisse comprise entre $\alpha$ et $\beta$^[2].

Considérons, d’autre part, deux racines consécutives de $f(x)\,:$ il y a sûrement entre elles un maximum ou un minimum [donc une racine de $f'(x)],$ puisque la courbe, suivie avec continuité d’une racine à l’autre, part de l’axe des $x$ pour y revenir.

573. Remarque. — Il résulte du théorème de Rolle que si une équation de degré $n$ a $n$ racines réelles, $x_{1},\ldots x_{n},$ l’équation déri-

1. Par « racine de $f(x)$ » nous entendons « racine de l’équation $f(x)=0$ » (cf. 359).—  Deux racines consécutives sont deux racines entre lesquelles ne s’en trouve située aucune autre.
2. Le nombre $\alpha$ ou $\beta ,$ est d’ailleurs, en ce cas, racine multiple de $f(x).$ [Voir n^o 421].