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Page:Boutroux - Les principes de l’analyse mathématique.djvu/544

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568. — Imaginons que, sur la figure 210, où nous avons tracé deux axes de coordonnées rectangulaires, le point reste fixe tandis que le point est variable sur l’axe des à droite de appelons l’abscisse constante de l’abscisse variable du point Supposons, d’autre part, que soit un arc d’une courbe quelconque — représentative d’une fonction  — compris entre les parallèles à menées par et l’aire du segment plan varie quand varie (c’est-à-dire quand se déplace) et sa valeur se trouve (pour chaque position de déterminée par la valeur de la variable Donc l’aire du segment est, au sens large du mot, une fonction de

Admettons que nous ayons en effet le droit d’assimiler cette aire aux « fonctions » proprement dites, dont nous avons fait plus haut l’étude, et désignons-la par

La fonction est évidemment continue si la fonction est elle-même continue, car l’aire varie arbitrairement peu lorsque se déplace arbitrairement peu. Nous allons voir, d’autre part, que admet une dérivée, qui n’est autre que la fonction d’où nous sommes partis.

À partir de la valeur donnons à la variable indépendante un accroissement le point de la courbe qui a pour abscisse a pour ordonnée [en appelant c’est-à-dire l’ordonnée (égale à fig. 211), et l’accroissement subi par cette ordonnée lorsque l’abscisse passe de la valeur à la valeur L’accroissement correspondant de la fonction c’est-à -dire de l’aire est manifestement l’aire limitée supérieurement par l’arc la valeur de cette aire est comprise (fig. 211) entre celles des rectangles [de dimensions et [de dimensions et donc entre et Son rapport à est par conséquent compris entre et lorsque l’accroissement et l’accroissement tendent simultanément vers zéro, le rapport — compris entre et une quantité

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