530 L'ALGÈBRE GÉOMÉTRIQUE
une infinité de courbes intégrales. | Plus précisément, par tout point du plan nous on pousons faire passer une].
565. — La construction que nous venons d'indiquer constitue ce que l'on appelle une méthode graphique de résulution des équa- tions différentielles. La simplicité de cette construction nous inspire immédiatement une idée : ne pourrait-on pus se fondersurelle, non seulement pour représenter les intégrales des équations, mais pour en démontrer l'existence? Il est, on l'a vu, un grand nombre d'équations différentielles que nous sommes incapables d'intégrer (au sens du n° 478: : cela étant, rien, dans l'état actuel de nos con- naissances, ne nous autorise à affirmer à l'avance que ces équations ont effectivement des solutions ou intégrales: cependant nous pouvos toujours leur appliquer la méthode de résolution gra- phique décrite ci-dessus. et cette méthode nous conduira toujours à une ligne brisée M1, M2, … qui se rapprachera arbitrairement d'une courbe (1) lorsque ses côtés seront arbitrairement petits. C'est un fait intuitivement évident qu'il en est bien ainsi, du moins lorsque f(x,y) est une fonction continue de x et y]. Ne pouvons- nous, dès lors, considérer la position-limite prise par la ligne bri- sée M0M1, … (lorsque la longueur de ses côtés tend vers zéro) comme une courbe intégrale, et démontrer rigoureusement que la fonction représentée par cette courbe est une solution de notre équation ?
Hâtons-nons de dire que ce mode de démonstration a été effec- tivement utilisé et qu'il est aujourd'hui passé dans la pratique courante. Mais l'exemple du problème de Beaune (562); nous montre que des difficultés, alors insurmontables, devaient arrêter au XVIIe siècle ceux qui auraient voulu l'employer. Le raisonnement que nous avons esquissé soulève en effet deux questions préalables auxquelles il n'était alors pas possible de répondre : Sous quelles conditions une ligne tracée sur Le papier est-elle une courbe géo- métrique, et sous quelles conditions une courbe représente-t-elle une fonction ?
(1) Je prends ici le mot « courbe » dans son sens le plus général ligne tracée d'un trait continu.
que ses eûtés seront arhitrairenn
43 Je prends ici le mot « courbe » dans son sens le plus général ligne tracée d’un trait continu.
