LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE 529
soit rectiligne, ce qui revient à assimiler un petit arc de courbe M0M à un segment de la tangente M0,M1 assimilation d'autant moins éloignée de la vérité que l'arc est plus petit . En d'autres termes prenons sur la tuugente M0T0, an point M1, de coordonnées x1, y1)
Fig. 107 Fig. 108
très approché de M0, (fig. 208) et admettons que notre courbe inté- grale passe par ce point. S'ilen est ainsi, elle devra avoir, en ce point, une langente dont le collicient angulaire est y! 2 fé vi): soit MAT, celle inngente ; prenons sur elle un point M, de coor- données l très tapproché de M; et admetions que notre courbe iutégrale pass jur ce point; le courbe devra avoir, en M, une tangente dunt le cuelli ainsi de suile.
Nous obtenons ainsi une ligne brisée M0M1M2M3… dont la figure se rapproche d'autant plus d'une ligne conrbe que les seg ments M0M1, M1M2, ... sont plus petits. D'ailleurs si nous regar- dons cette ligne comme une courbe ayant pour tangentes anx points successifs M0, M1, les droites M0T0, M1T1, cette courbe satisfera bien en tous les points M0,M1... à la condition posée par l'équation différentielle (t). Nous pouvons donc la considérer comme représentant approximativement (avec une approximation arbitrairement grande) une courbe intégrale de notre équation (.
Observons d'ailleurs que le choix du point M1, d'où nous sommes partis est absolument arbitraire. Nous pourrons donc construire
(1) Ce mode de construction qui consiste à remplacer la courbe par un contour formé de petites ligne (lineole) fut indiqué par Jean Bernouilli en 1694 (Modus generalis construendi amnes aequationes differentiales primi gradus, ap. Acta eruditorum, novemembre 1694 : OEuv., t l. p. 123 et suiv ... Déjà Leibnig en avait eu l'idée dès 1975
