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D’où la règle : La racine $p$ ^ième ou racine d’ordre $p$ de la fraction ${\frac {\mathrm {M} }{m}}$ est la fraction ${\frac {\sqrt[{p}]{\mathrm {M} }}{\sqrt[{p}]{m}}}\,:$ on peut donc écrire

{\sqrt[{p}]{\frac {\mathrm {M} }{m}}}={\frac {\sqrt[{p}]{\mathrm {M} }}{\sqrt[{p}]{m}}}.

L’extraction (exacte) de la racine $p$ ^ième d’une fraction est-elle une opération toujours possible ? Pour qu’il en fût ainsi il faudrait qu’il existât toujours une fraction dont la puissance $p$ ^ième fûtM égale à ${\frac {\mathrm {M} }{m}}.$ Or un exemple très simple va montrer que cela n’est pas.

Je dis qu’il n’existe pas de fraction dont le carré soit égal à $2$ (d’où il résulte que l’extraction exacte de la racine carrée de $2$ est une opération impossible). Supposons en effet qu’il existe une fraction ${\frac {a}{b}}$ telle que ${\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2.$ J’ai le droit de supposer (n^o 32 que l’on a réduit la fraction à une fraction irréductible, en sorte que $a$ et $b$ sont premiers entre eux (n^o 24). J’ai, par hypothèse, $a^{2}=2b^{2}\,;$ donc $a^{2},$ et par suite $a,$ est un nombre pair^[1] ; et, puisque $a$ et $b$ sont premiers entre eux, $b$ doit être un nombre impair. Mais appelons $a'$ le nombre ${\frac {a}{2}}$ (ce nombre est entier puisque $a$ est pair) : j’ai $a^{2}=2^{2}\times a'^{2}=4\cdot a'^{2}.$ et, par conséquent $2\cdot a'^{2}=b^{2}\,;$ donc $b^{2}$ est pair, ce qui exige que $b$ soit pair (note 1). Ainsi, en admettant qu’il existe une fraction ${\frac {a}{b}}$ égale à ${\sqrt {2}}$ nous aboutissons à cette conclusion que le nombre $b$ est à la fois impair et pair. Conclusion absurde qui nous oblige à rejeter notre hypothèse.

La démonstration qui précède est donnée par Euclide au livre X de ses Éléments, et s’il faut en croire Aristote^[2], elle aurait déjà été connue de Pythagore, Elle nous apprend qu’en général les

↑ Le carré d’un nombre impair est nécessairement un nombre impair ; en effet, la décomposition de ce carré en facteurs premiers ne peut (pas plus que le nombre lui-même) contenir le facteur $2.$ Donc si $a^{2}$ est pair, $a$ l’est aussi.
↑ Cf. Castor, Vorlesungen, I, p. 170.

[1] Le carré d’un nombre impair est nécessairement un nombre impair ; en effet, la décomposition de ce carré en facteurs premiers ne peut (pas plus que le nombre lui-même) contenir le facteur $2.$ Donc si $a^{2}$ est pair, $a$ l’est aussi.

[2] Cf. Castor, Vorlesungen, I, p. 170.

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