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géométrique : une fonction de $x$ sera, par définition, une fonction continue dans un intervalle, si la courbe on branche de courbe correspondante peut être tracée d’un trait continu et si, d’autre part, elle ne coïncide, (dans aucune de ses parties) avec une parallèle à l’axe des $y$ (un segment parallèle à l’axe des $y$ à la distance $a$ de l’origine représenterait, en effet, une fonction qui, pour la valeur $a$ de $x,$ sauterait d’une valeur à une autre)^[1].

553. Pôles et infinis (cf. 398). — Si une branche de fonction devient infinie lorsque $x,$ variant avec continuité, atteint une certaine valeur (finie) $x_{0},$ la branche de courbe correspondante s’éloigne indéfiniment en se rapprochant de plus en plus de la parallèle à l’axe des $y$ menée par l’extrémité de l’abscisse $x_{0}\,:$ elle est dite asymptote à cette droite.

Si la fonction $y=f(x)$ existe pour des valeurs de $x$ situées de part et d’autre de la valeur de $x_{0}$ (qui est un pôle ou infini, voir 398), il y a deux branches de courbes asymptotes à la même droite, à gauche et à droite, comme il arrive dans l’exemple que nous avons considéré au n^o 546^[2].

Voici, d’ailleurs, d’autres exemples de fonctions qui présentent des pôles ou infinis,

Fonction^[3] $y={\frac {3x^{2}-6x+2}{x(x-1)(x-2)}}.$ Cette fonction devient infinie (présente un pôle) lorsque $x$ prend l’une des valeurs $0,\,1,\,2$ qui annulent le dénominateur. La courbe représentative a la forme représentée par la figure 199 : elle a des branches asymptotes à l’axe des $y$ et aux parallèles à l’axe des $y$ menées par les points d’abscisses $+1$ et $-2.$

1. Nous verrons en géométrie analytique qu’une parallèle à l’axe des $y$ a pour équation $x=a\,:$ il ne lui correspond aucune fonction de $x.$
2. Plus généralement la fonction $y={\frac {ax+b}{cx+d}},$ fonction homographique, dont les coefficients $a,b,c,d$ sont des nombres quelconques, est représentée par une hyperbole dont les asymptotes sont parallèles aux axes de coordonnées.
3. On peut écrire (en effectuant l’opération indiquée au n^o 374) $y={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x-2}}.$