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On démontrera de même que le polynome $f(x,y)$ a un signe invariable pour toutes les positions du point $\mathrm {M}$ (de coordonnées $x,y)$ extérieures à la courbe.

D’ailleurs, il est facile de démontrer^[1] que si le polynome $f(x,y)$ est positif à l’intérieur de la courbe ( c’est-à-dire pour les positions de $\mathrm {M}$ intérieures à la courbe), il est négatif à l’extérieur ; et inversement, s’il est négatif à l’intérieur, il est positif à l’extérieur. Ainsi les systèmes de valeurs de $x$ et $y$ pour lesquels on a $f(x,y)>0$ sont les coordonnées de tous les points situés, soit à l’intérieur, soit à l’extérieur de la courbe.

L’étude des inégalités correspondant à des courbes de formes plus compliquées sera souvent plus délicate, mais pourra être faite d’une manière semblable.

3. — L’étude graphique des fonctions d’une variable.

549. — Nous avons dit que la méthode cartésienne de figuration permettait de trouver et d’interpréter très simplement les principales propriétés des fonctions d’une variable. Et de fait, au fur et à mesure qu’apparaissaient et se précisaient ces propriétés (au xvii^e, au xviii^e, et pendant la première moitié du xix^e siècle), elles s’exprimaient immédiatement en langage géométrique. Comment et sous quelle forme au juste, c’est ce que nous allons voir en suivant pas pas les définitions et les propositions du chapitre ii.

550. Fonction définie dans un intervalle (cf. 391). Branches de fonction (cf. 395). — Dire qu’une fonction est définie dans un intervalle $a,b,$ c’est dire que la courbe représentative est définie pour les abscisses comprises entre deux valeurs $a$ et $b.$ et par conséquent entre les parallèles à l’axe des $y$ menées par les points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ de l’axe $\mathrm {X'OX} ,$ extrémités des abscisses $a$ et $b$ (fig. 197).

1. S’il n’en était pas ainsi, la fonction $f(x,y)$ se trouverait être positive ou nulle pour toutes les positions du point $\mathrm {M}$ dans le plan. Or on démontre que cette circonstance ne peut se présenter pour aucun polynome.