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sons du théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle $\mathrm {POM}$ que $\mathrm {OM} ^{2}=1,$ donc $\mathrm {OM} =1.$ Ainsi la courbe représentative de la fonction ${\Big [}{\Big .}$qui, sous forme explicite, s’écrit $\left.y={\sqrt {1-x^{2}}}\right]$ est composée des points situés à la distance $1$ de l’origine : c’est un cercle.

Nous trouverons au prochain paragraphe l’occasion de signaler quelques nouvelles courbes figuratives de fonctions.

548. Inégalités à deux variables. — Étant donnée une fonction continue, $f(x,y),$ des deux variables $x,y,$ par exemple un polynome en $x$ et $y,$ posons-nous la question suivante : Quels sont les systèmes de valeurs de $x$ et $y$ pour lesquels cette fonction est positive ? Quels sont les systèmes de valeurs pour lesquelles elle est négative ? La figuration cartésienne fournira souvent un moyen simple de répondre à cette question : elle permettra, dira-t-on, de « résoudre » l’inégalité $f(x,y)>0$ ou $f(x,y)<0.$ Envisageons (fig. 196) la courbe représentative de la fonction implicite $y$ de $x$ définie par la relation $f(x,y)=0$ où $f$ est un polynome, et supposons, pour nous placer dans un cas simple, que cette courbe soit fermée et ait approximativement la forme d’une ellipse.

Considérons un point quelconque $\mathrm {M}$ (de coordonnées $x$ et $y)$ que nous faisons varier à partir d’une position $\mathrm {M} _{0}$ (de coordonnées $x_{0},y_{0})$ située à l’intérieur de la courbe. Supposons de plus, pour fixer les idées, que le polynome $f$ ait le signe $+$ au point $\mathrm {M} _{0},$ c’est-à-dire que $f(x_{0},y_{0})>0.$ Lorsque $\mathrm {M}$ varie d’une manière continue, il en est de mème de la valeur de la fonction $f(x,y)$ [en vertu des propriétés des fonctions continues] : cette fonction, en conséquence, ne peut sauter brusquement d’une valeur positive à une valeur négative. Positive elle est, et positive elle restera, tant que le point $\mathrm {M}$ ne traversera pas une position pour laquelle la fonction soit nulle mais les points pour lesquels $f(x,y)$ est nul sont, par hypothèse, les points de la courbe et ces points seulement : donc la fonction conservera le même signe, tant que le point $\mathrm {M}$ restera à l’intérieur de la courbe.