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Le nombre $\lambda$ est compris entre les racines du trinome ou extérieur à l’intervalle de ces racines suivant que la quantité $a\lambda ^{2}+b\lambda +c$ a le même signe que $a$ ou le signe contraire.

Dans le cas où le nombre $\lambda$ est extérieur à l’intervalle $x',x'',$ il sera évidemment plus petit que $x'$ ou plus grand que $x''$ suivant qu’il sera inférieur ou supérieur à la demi somme des racines^[1] ${\frac {x'+x''}{2}}.$ Or cette demi-somme a pour valeur ${\frac {-b}{2a}},$ et l’on pourra toujours lui comparer $\lambda$ sans être obligé, pour cela, de faire le calcul des racines $x'$ et $x''.$

569. Représentation de la fonction $y={\frac {1}{x}}.$ — On démontre que la courbe figurative de la fonction $y={\frac {1}{x}}$ est une hyperbole qui a pour centre (n^o 245) l’origine $\mathrm {O}$ et pour asymptotes les deux axes de coordonnées. La figure montre que pour $x=0$ l’ordonnée $(y={\frac {1}{x}})$ est infinie ; d’ailleurs pour $x$ positif et voisin de $0,$ l’ordonnée est positive et très grande ; pour $x$ négatif et très petit, l’ordonnée est négative et très grande en valeur absolue ainsi lorsque $x,$ croissant d’une manière continue franchit la valeur $0,$ l’ordonnée passe d’une valeur négative infiniment grande à une valeur positive infiniment grande : on dit que $y$ saute de $+\infty$ à $-\infty$ (cf. 398).

547. Représentation de la fonction implicite définie par la relation $x^{2}+y^{2}=1.$ — Appelant $\mathrm {M}$ un point quelconque de la courbe représentative, et $\mathrm {P}$ sa projection sur l’axe des $x,$ nous dédui-

1. Car, quels que soient les nombres relatifs $x'$ et $x'',$ on a nécessairement $x'<{\frac {x'+x''}{2}}<x''$ puisque $x'<x''\,;$ donc si, par exemple, $\lambda$ est inférieur à ${\frac {x'+x''}{2}},$ il ne peut être plus grand que $x''.$