Supposons pour fixer les idées que soit positif et distinguons entre les trois cas suivants :
1o le trinome, alors n’a pas de racines, et la parabole représentative est toute entière au-dessus de l’axe des (1re fig. 193) ; donc le trinomie, égal à l’ordonnée est positif pour toute valeur de et l’inégalité (2) est toujours satisfaite ;
2o en ce cas la courbe touche l’axe des au point et est au-dessus partout ailleurs ; donc l’inégalité (2) est vérifiée pour toute valeur de exception faite pour la valeur pour laquelle
3o en ce cas la parabole a la disposition représentée par la 2e figure 193 : l’ordonnée est négative pour les valeurs de comprises entre les racines et positive pour toute autre valeur de donc l’inégalité (2) est vérifiée pour toutes les valeurs de qui sont extérieures à l’intervalle
On discutera de la même manière le cas où le premier coefficient du trinome est négatif.
L’inégalité se trouve résolue en même temps que l’inégalité (2), puisque les valeurs de qui la vérifient sont celles pour lesquelles l’inégalité (2) n’est pas satisfaite.
545. Comparaison d’un nombre donné aux racines d’une équation du second degré. — C’est là une question qui se pose à l’occasion de nombreux problèmes. Étant donné un nombre et une équation du second degré dont les racines et sont supposées exister, mais n’ont pas été calculées, comment reconnaître rapidement si le nombre est compris entre les deux racines, ou plus petit que la plus petite racine (soit ou plus grand que la plus grande (soit
On peut répondre immédiatement à cette question en calculant la quantité valeur du trinome pour la valeur de
En effet, supposons d’abord positif. L’équation étant supposée avoir deux racines nous sommes dans le cas de la 2e figure 194 : on voit qu’une valeur de à laquelle correspond une ordonnée négative est nécessairement intérieure à l’intervalle
En raisonnant de même sur le cas de la 4e figure 193 négatif) on parvient à la conclusion générale suivante :
