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D’après l’identité (XVI) du n^o 305, nous avons

(1)

$y=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}.$

Plaçons-nous dans l’hypothèse où $a>0.$

Lorsque $x$ est négatif et très grand en valeur absolue, il en est de même de $x+{\frac {b}{2a}}\,;$ donc le carré $\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}$ est positif et très grand ; ce carré ne cesse de décroître, à partir^[1] de $+\infty ,$ lorsque $x$ décroit en valeur absolue ; il en est donc de même de son produit par le nombre positif $a,$ et de même aussi de son produit par $a,$ moins un nombre constant. Donc $y$ décroît, à partir de $+\infty ,$ jusqu’à ce que la valeur absolue de $x+{\frac {b}{2a}}$ devienne nulle, c’est-à-dire jusqu’à ce que $x=-{\frac {b}{2a}}\,;$ cette valeur de $x$ est un minimum pour la fonction $y$ ${\bigg (}{\bigg .}$qui prend, à ce moment, la valeur $\left.{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\right).$

On constate de même que, lorsque $x$ croît de $-{\frac {b}{2a}}$ à $+\infty ,\ y$ va en croissant jusqu’à $+\infty .$

D’ailleurs il résulte de l’égalité (1) que deux valeurs de $x$ également distantes de $-{\frac {b}{2a}}$ [c’est-à-dire deux valeurs $x'$ et $x''$ telles que $x''-\left({\frac {-b}{2a}}\right)=\left({\frac {-b}{2a}}\right)-x']$ fournissent la même valeur de $y.$ Donc la courbe représentative du trinome est symétrique (n^o 176) par rapport à la parallèle à l’axe des $y$ et menée par le point correspondant au minimum.

544. Résolution de l’inégalité du second degré. — Soit proposé le problème suivant : Trouver les conditions auxquelles doit satisfaire le nombre $x$ pour que l’on ait

(2)

$ax^{2}+bx+c>0,$

$a,b,c$ étant trois nombres donnés. La résolution de ce problème est facile si l’on se réfère à la représentation géométrique du trinome

$y=ax^{2}+bx+c.$

1. Sur la notation $+\infty ,$ voir n^o 398.