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points ». « Prenant — dit Descartes, qui considère dans cet énoncé $y$ comme la variable indépendante et $x$ comme la variable dépendante^[1] — successivement infinies diverses grandeurs pour la ligue $y,$ on en trouvera aussi infinies pour la ligne $x,$ et ainsi on aura une infinité de divers points tels que celui qui est marqué $\mathrm {C} ,$ par le moyen desquels on décrit la ligne courbe demandée^[2]. »

Que si, au lieu d’être donnée sous forme explicite, la fonction $y$ de $x$ est définie par une relation implicite $\operatorname {F} (x,y)=0,$ elle est encore représentée par une courbe : cette courbe se trouve caractérisée par ce fait que l’abscisse $x$ et l’ordonnée $y$ de l’un quelconque de ses points satisfont à l’égalité $\operatorname {F} (x,y)=0,$ (cf. 390).

538. — Ainsi à toute fonction correspond une ligne que nous appellerons ligne ou courbe représentative de la fonction). Voilà, à cela près qu’il n’envisageait que des coordonnées positives et se bornait par conséquent à l’étude des courbes situées dans l’angle^[3] 1 de la fig. 186, ce que montra clairement Descartes. Ce faisant^[4], il clarifia définitivement ce concept mystérieux de la fonction qui était le support invisible et de toutes les combinaisons algébriques (l’exposé de notre chapitre 1 a mis ce fait en évidence), Grâce à la figuration cartésienne, tous les caractères, toutes les propriétés des fonctions allaient en quelque sorte sauter aux yeux. On n’avait qu’à regarder pour les découvrir.

↑ Si l’on retourne ainsi le rôle des variables, la fonction représentée se trouve être la fonction $x=\arg f(y),$ fonction inverse de $f(x)$ [vide, n^o 393]. Il est bien évident qu’une fonction $f(x)$ et la fonction inverse sont toujours figurées par la même courbe.
↑ La Géométrie, liv. I, Œuv., t. VI, p. 386.
↑ Descartes retournait d’ailleurs la figure, en sorte que l’angle 1 était l’angle du bas à droite fig. 187.
↑ Il s’agit uniquement — ici et au paragraphe suivant — de la figuration des fonctions d’une variable. On aurait une figuration analogue des fonctions de deux variables indépendantes, $z=f(x,y)$ en considérant $z=f(x,y)$ comme l’équation d’une surface rapportée à trois axes de coordonnées (vide infra, chap. iv. Mais cette figuration, qui ne peut être réalisée graphiquement sur le papier, no rendrait guère de services à l’algébriste.

[1] Si l’on retourne ainsi le rôle des variables, la fonction représentée se trouve être la fonction $x=\arg f(y),$ fonction inverse de $f(x)$ [vide, n^o 393]. Il est bien évident qu’une fonction $f(x)$ et la fonction inverse sont toujours figurées par la même courbe.

[2] La Géométrie, liv. I, Œuv., t. VI, p. 386.

[3] Descartes retournait d’ailleurs la figure, en sorte que l’angle 1 était l’angle du bas à droite fig. 187.

[4] Il s’agit uniquement — ici et au paragraphe suivant — de la figuration des fonctions d’une variable. On aurait une figuration analogue des fonctions de deux variables indépendantes, $z=f(x,y)$ en considérant $z=f(x,y)$ comme l’équation d’une surface rapportée à trois axes de coordonnées (vide infra, chap. iv. Mais cette figuration, qui ne peut être réalisée graphiquement sur le papier, no rendrait guère de services à l’algébriste.

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