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teur la somme des deux numérateurs. $|\mathrm {M}$ $m$^èmes parties de l’unité $+\mathrm {N}$ $m$^èmes parties $=(\mathrm {M+N} )$ $m$^èmes parties|.

Si l’on considère, d’autre part, deux fractions de dénominateurs différents, on les additionnera en les réduisant d’abord au même dénominateur, et appliquant ensuite la règle énoncée ci-dessus.

Par exemple :

${\frac {\mathrm {M} }{m}}+{\frac {\mathrm {N} }{n}}={\frac {\mathrm {M} \times n}{m\times n}}+{\frac {\mathrm {N} \times m}{m\times n}}={\frac {(\mathrm {M} \times n)+(\mathrm {N} \times m)}{m\times n}}.$

L’addition ainsi définie satisfait bien à la condition que nous avons requise au n^o 31.

Soit maintenant donné un nombre quelconque de fractions dont chacune sera, pour simplifier, représentée par une seule lettre $a$ ou $b$ on $c.$ Ayant défini la somme $(a+b),$ nous pourrons définir, de la même manière qu’au § 2. la somme (ou l’addition) d’un nombre quelconque d’éléments $a,b,c,\ldots$ L’addition sera toujours une opération univoque, commutative et associative (vide n^o 5).

La règle de la soustraction est analogue à celle de l’addition : Pour soustraire une fraction ${\frac {\mathrm {N} }{n}}$ d’une fraction ${\frac {\mathrm {M} }{m}}$ on réduit les deux fractions au même dénominateur ; puis on forme la fraction qui a pour dénominateur le dénominateur commun et pour numérateur la différence des numérateurs. On obtient ainsi la différence'

${\frac {(\mathrm {M} \times n)-(\mathrm {N} \times m)}{m\times n}}.$

L’opération n’est possible, bien entendu, que si, des deux fractions réduites au mème dénominateur, c’est la fraction retranchée qui a le plus petit numérateur.

34. Multiplication et division. – L’origine de la notion de fraction justifie immédiatement les règles suivantes qui satisfont à la condition requise plus haut :

Le produit (résultat de la multiplication) d’une fraction ${\frac {\mathrm {M} }{m}}$ par un nombre entier $a$ est la fraction ${\frac {\mathrm {M} \times a}{m}}$ qui a pour dénominateur le dénominateur $m$ et pour numérateur le produit par $a$ du numérateur $\mathrm {M}$.