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fut ramenée — peut-être par Hippocrate de Chios — à la résolution du problème suivant : déterminer deux moyennes proportionnelles à deur segments donnés.

Étant connues, en effet, les trois dimensions $a,b,c,$ nous pouvons, en premier lieu, construire un segment $d$ qui soit moyen proportionnel entre $a$ et $b$ (n^o 96) donc tel que ${\frac {a}{d}}={\frac {d}{b}}$ ou $a.b=d^{2}.$ Le segment inconnu $x$ sera alors défini par la relation $x^{3}=d^{2}.c.$ Je dis que, pour le calculer, il suffit de déterminer deux segments $x$ et $y$ tels que

(4)

${\frac {d}{x}}={\frac {x}{y}}={\frac {y}{c}},$

En effet, écrivant que le carré du premier rapport (4) est égal au produit des deux autres rapports, nous avons ${\frac {d^{2}}{x^{2}}}={\frac {x.y}{y.c}}={\frac {x}{c}}\,:$ d’où $d^{2}.c=x^{3}.$

On énonce la relation exprimée par l’égalité (4) en disant que $x$ et $y$ sont deux moyennes proportionnelles entre $c$ et $d$ (cf. p. 123 note 2).

531. — Voici maintenant comment la détermination des segments $x$ et $y$ peut être faite aux moyens des lieux solides ou sections coniques [cette détermination est attribuée à Menechime^[1]] :

Des proportions ${\frac {d}{x}}={\frac {x}{y}},$ ${\frac {x}{y}}={\frac {y}{c}},$ on déduit^[2]

(5)

$x^{2}=d.y,\qquad y^{2}=c.x.$

Traçons fig. 182 deux droites rectangulaires $\mathrm {OX,OY}$ et proposons-nous de trouver deux segments $\mathrm {OM,ON} ,$ que nons portons respectivement sur $\mathrm {OX}$ et $\mathrm {OY} ,$ dont les longueurs $x,y$ satislassent aux relations 5) $[c$ et $d$ étant des longueurs données]. Menons par

1. Vide supra p. 241, note 3. Cf. Heath, Apollonius of Perga, 1896, p. xix.
2. Une autre solution, également donnée par Menechme, consiste à construire l’intersection de la parabole et de l’hyperbole dont les équad y tions en coordonnées rectangulaires sont $x^{2}=d.y$ et ${\frac {d}{x}}={\frac {y}{c}}$ (ou $xy=cd).$