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529. — Il est intéressant de noter que les propositions qui font l’objet des n^os 525-28 ont été généralisées par Apollonius. Ce géomètre établit en effet que ces propositions restent vraies lors même que la droite que nous avons appelée $\mathrm {DH}$ n’est plus perpendiculaire à $\mathrm {AB}$ mais est simplement assujettie à être parallèle à une direction fixe (la même pour toutes les positions prises par $\mathrm {D} )$ arbitrairement inclinée sur $\mathrm {AB}$ (comparer p. 246 note i).

En d’autres termes soit $\mathrm {T'T}$ la direction donnée, $\mathrm {H}$ un point de $\mathrm {AB} .$ Sur la parallèle à $\mathrm {T'T}$ menée par $\mathrm {H} ,$ portons une longueur $\mathrm {HD}$ telle que $\mathrm {HD^{2}=LM\times AH-{\frac {LM}{AB}}AH^{2}} \,:$ le lien géométrique du point $\mathrm {D}$ (pour $\mathrm {H}$ variant entre $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} )$ est une ellipse de diamètre $\mathrm {AB} ,$ et pour laquelle $\mathrm {T'T}$ est la direction des cordes conjuguées au diamètre $\mathrm {AB}$ [voir au n^o 247 la définition des diamètres et cordes conjuguées].

530. — La construction des sections coniques, et les propositions des n^os 525-28 fournirent la solution d’un problème célèbre qui occupa beaucoup les premiers géomètres grecs : le problème de la duplication du cube.

Soit demandé de construire un cube égal congruent) à un parallélipipède droit donné. Appelant de la mesure du côté du cube, a, b, c celles des dimensions du parallélépipède, on voit que la question revient à résoudre l’équation du troisième degré

(3)

$x^{3}=abc$

et, par conséquent, à extraire une racine cubique. En particulier, si le parallélépipède a pour dimensions $a,\,a,\,2a,$ le cube inconnu doit être double du cube de dimension $a\,:$ d’où le nom de duplication^[1] donné au problème.

La construction du cube égal à un parallélépipède droit quelconque

1. On appelle parfois ce problème problème délien à cause d’un oracle qui aurait prescrit de donner à un autel de forme cubique, dans l’ile de Délos, une grandeur double, « sans en changer la forme », (cf. Zeuthen, Hist. des Math., trad. J. Mascart, p. 68.