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demi-hyperbole^[1] passant par le point $\mathrm {A}$ et ayant pour axe transverse le segment $\mathrm {AB} .$

En langage algébrique, si nous posons comme plus haut

$\mathrm {\overline {AB}} =2a,\qquad \mathrm {\overline {LM}} =2p,\qquad \mathrm {\overline {AH}} =x,\qquad \mathrm {\overline {HD}} =y,$

nous avons

$y^{2}=2px+{\frac {p}{a}}x^{2}.$

L’hyperbole, une fois construite, fournira une solution simple du problème du n^o 523 (la construction est la même que dans le cas de l’ellipse).

Le nom de l’hyperbole (ὑπερβολή) rappelle que cette figure est relative à la construction du rectangle excédent (ὑπερβάλλον).

528. — Que si maintenant nous considérons l’application pure et simple (παραβολή) d’un rectangle à un segment (sans défaillance ni excès n^o 520), nous verrons intervenir la troisième section conique, et nous expliquerons ainsi son nom de parabole.

Conservant toujours les mêmes notations (voir fig. 177). supposons que $\mathrm {DH}$ soit le côté d’un carré assujetti à étre égal à un rectangle que l’on imagine appliqué à un segment donné $\mathrm {LM}$ et de dimensions $\mathrm {AB}$ et $\mathrm {AH} .$ On démontre que le lieu géométrique du point $\mathrm {D}$ est une parabole dont $\mathrm {AB}$ est l’axe et $\mathrm {A}$ le sommet (fig. 180).

En langage algébrique nous aurons :

$y^{2}=2px\,;$

le nombre $p$ est dit paramètre de la parabole.

1. Grâce à l’introduction des signes dans le calcul des abscisses la relation $y^{2}=2px+{\frac {p}{a}}x^{2}$ représentera en « géométrie analytique » l’hyperbole tout entière : c’est l’équation de la courbe rapportée à deux axes rectangulaires, d’origine $\mathrm {A} ,$ dont l’un (l’axe des $x)$ coïncide avec $\mathrm {AB}$ (vide infra, chap. iv).