veau le problème du no 522 (détermination du rectangle défaillant) en adoptant les notations indiquées au début du no 525. Le carré donné a pour côté la longueur le rectangle inconnu doit être appliqué à et défaillant d’un rectangle de dimensions et alors, une fois construite la figure 178, comme il a été dit au no 525, l’inconnue (dimension inconnue du rectangle à construire) ne sera autre que la longueur (d’après les propriétés qui définissent cette figure).
D’où la construction suivante pour déterminer à une distance égale au côté du carré donné au-dessus de menons la parallèle à Si cette parallèle compe l’ellipse, elle la coupe en général en deux points et qui se projettent en et sur Chacun des deux segments et satisfait aux conditions du problème qui a, par conséquent, deux solutions.
Si ne coupe pas l’ellipse, le problème n’admet aucune solution. Si touche l’ellipse en un point (lui est tangente) il y a une et une seule solution.
Remarquons que si le lien géométrique du point est un cercle d’après le no 524 [on a alors l’ellipse dégénère donc en cercle dans ce cas particulier.
![{\displaystyle y^{2}=x(2a-x)=\mathrm {AH.HB} ]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e3546efbe09751c6eb309f4c1d90f2652242d0)
Le nom de l’ellipse (ἔλλειψις) rappelle que cette figure est relative à la construction d’un rectangle défaillant (ἐλλεῖπον).
527. — Considérons maintenant le cas du rectangle excédent,
Les segments étant définis comme ci-dessus mais étant cette fois hors de l’intervalle du côté de [voir la figure 179 que nous disposons ici de telle sorte que soit à gauche de supposons que soit le côté d’un carré assujetti à être égal à un rectangle, lequel est lui-même supposé appliqué à un segment donné et excédant d’un rectangle semblable au rectangle de dimensions et On démontre que le lieu géométrique du point (pour quelconque sur le prolongement de est une
![{\displaystyle \mathrm {A} ],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/236269140a298dde58ffeac09a0af679c099d93b)
