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lorsqu’on divise ses termes par ce nombre. – Effectuer une telle opération sera, par définition simplifier ou réduire la fraction. On dit qu’une fraction est irréductible lorsqu’elle ne peut pas être réduite.

Les deux termes d’une fraction irréductible sont nécessairement des nombres premiers entre eux. En effet, si ces nombres n’étaient pas premiers entre eux, ils auraient un facteur premier commun (23) par lequel on pourrait diviser les deux termes de la fraction. Toute fraction peut évidemment être réduite en fraction irréductible.

Principe D. _ Étant donné plusieurs fractions on peut toujours les réduire au même dénominateur, c’est-à-dire les remplacer par des fractions égales qui aient toutes le même dénominateur.

En effet, soient ${\frac {\mathrm {M} }{m}},{\frac {\mathrm {N} }{n}}$ deux fractions quelconques. La première est égale à la fraction ${\frac {\mathrm {M} \times n}{m\times n}},$ la seconde à la fraction ${\frac {\mathrm {N} \times m}{m\times n}}.$ Les deux fractions ${\frac {\mathrm {M} \times n}{m\times n}},$ et ${\frac {\mathrm {N} \times m}{m\times n}}.$ satisfont donc aux conditions requises ; d’ailleurs il est possible que ces deux fractions puissent être réduites à deux autres, plus simples, ayant également même dénominateur^[1]. Soient données, maintenant, trois fractions ${\frac {\mathrm {L} }{l}},{\frac {\mathrm {M} }{m}},{\frac {\mathrm {N} }{n}}\,:$ nous pouvons les remplacer pur les fractions égales :

{\frac {\mathrm {L} \times m\times n\times }{l\times m\times n}},\qquad {\frac {\mathrm {M} \times l\times n\times }{l\times m\times n}},\qquad {\frac {\mathrm {N} \times l\times m}{l\times m\times n}}.

Et de même pour un nombre quelconque de fractions.

Cela posé, rappelons les règles bien connues qui définissent les opérations relatives aux fractions.

33. Addition et soustraction. – Considérons d’abord deux fractions ${\frac {\mathrm {M} }{m}}$ et ${\frac {\mathrm {N} }{m}}$ de même dénominateur. La somme, résultat de l’addition de ces deux fractions, est. par définition, une fraction qui a pour dénominateur le dénominateur commun et pour numéra-

↑ D’une manière générale, on peut toujours réduire plusieurs fractions quelconques à un même dénominateur, qui est le plus petit commun multiple des dénominateurs de ces fractions.

[1] D’une manière générale, on peut toujours réduire plusieurs fractions quelconques à un même dénominateur, qui est le plus petit commun multiple des dénominateurs de ces fractions.

[1]