d’ordinaire les nombres cardinaux (et les fractions à eux réductibles): nombres entiers.
31. – Est-il possible d’effectuer sur les fractions les six opérations fondamentales définies au $ 2 ?
Oui, évidemment, pourvu que nous donnions des règles non ambiguës permettant de déduire de deux ou plusieurs fractions données certaines fractions nouvelles appelées somme, produit, quotient… des fractions proposées. Mais, nous venons de voir qu’il y a des fractions qui sont des nombres cardinaux (nombres entiers). Les règles des opérations effectuées sur les fractions devront donc être telles qu’appliquées aux nombres cardinaux (plus exactement : aux fractions égales à des nombres cardinaux) elles se confondent avec les règles propres à ces derniers nombres (règles du § 2).
Le calcul des fractions remonte à une haute antiquité[1], car il est formulé avec une assez grande précision, – du moins en ce qui concerne les fractions de numérateur – dans le traité de l’égyptien Ahmes (vide no 1); il se développa en Grèce et aux Indes (5e, 6{e}} siècle, ap. J.-C.); puis par l’intermédiaire des Arabes, qui le recueillirent de diverses sources, il fut transmis aux peuples occidentaux. Le premier exposé rigoureux et complet du calcul des fractions (appelées à cette époque : nombres rompus[2], numeri rupti) se trouve dans l’Arithmétique de Stevin (1585).
32. Règles fondamentales du calcul des fractions. – Les calculs relatifs aux fractions se font par application des principes suivants, conséquences directes des définitions, et dont on trouvera la démonstration dans tous les traités d’arithmétique.
Principe A. – Dans le cas où le numérateur d’une fraction est divisible par le dénominateur, la fraction est égale au quotient.
Principe B. – On ne change pas la valeur d’une fraction lorsqu’on multiplie ses deux termes par un même nombre.
Principe C. – Si les deux termes d’une fraction sont divisibles par un même nombre, on ne change pas la valeur de la fraction
