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Les calculs relatifs aux fractions d’unité reposent sur le principe suivant, qui est universellement admis tout objet peut être divisé en autant de parties égales que l’on veut, et, par conséquent, quel que soit le nombre cardinal $m,$ il est possible de diviser l’unité en $m$ parties égales. Chacune de ces parties est une $m$ ^ème partie de l’unité ; nous l’appelons fraction (de numérateur $1,$ et nous convenons d’écrire :

m

^ème partie de l’unité

=

(égale)

{\frac {1}{m}}.

Soit maintenant $\mathrm {M}$ un nombre cardinal inférieur à $m.$ Supposons que, parmi les $m$ $m$ ^èmes parties de l’unité, nous en prenions $\mathrm {M} \,:$ nous isolerons ainsi une collection de $\mathrm {M}$ $m$ ^èmes parties de l’unité ; cette collection sera appelée « fraction », et nous conviendrons d’écrire :

\mathrm {M} \,m

^èmes parties de l’unité

={\frac {\mathrm {M} }{m}}.

Supposons enfin que nous disposions de plusieurs objets indiscernables ou unités, et que nous divisions chacun d’eux en $m$ parties égales. Nous obtenons ainsi une collection de parties toutes égales entre elles. Isolons $\mathrm {M}$ de ces parties $(\mathrm {M}$ pouvant être cette fois supérieur à $m)\,:$ nous aurons encore une « fraction »^[1] que nous représenterons par le symbole ${\frac {\mathrm {M} }{m}}\,;$ $\mathrm {M}$ et $m$ sont appelés termes de la fraction ; $\mathrm {M}$ est le numérateur et $m$ le dénominateur de la fraction.

Une fraction est égale à un nombre cardinal lorsque son numérateur est divisible par son dénominateur. C’est le cas de toutes les fractions de dénominateur $1,$ et des fractions telles que ${\frac {2}{2}},{\frac {4}{2}},$ etc. En effectuant la division, on « réduit » la fraction au nombre cardinal égal. Pour les opposer à l’ensemble des fractions, on appelle

↑ Cette extension donnée au sens du mot « fraction », un peu choquante au point de vue philologique, est justifiée par ce fait que les quantités que nous convenons d’appeler « fractions », jouissent de propriétés semblables que leur numérateur soit ou non égal à $1.$ Les Égyptiens (vide 31) et les peuples primitifs ne connaissaient cependant que les fractions de numérateur $1.$

[1] Cette extension donnée au sens du mot « fraction », un peu choquante au point de vue philologique, est justifiée par ce fait que les quantités que nous convenons d’appeler « fractions », jouissent de propriétés semblables que leur numérateur soit ou non égal à $1.$ Les Égyptiens (vide 31) et les peuples primitifs ne connaissaient cependant que les fractions de numérateur $1.$

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