bles par puis tous ceux qui sont divisibles par et ainsi de suite : tout nombre restant, n’étant divisible par aucun nombre inférieur, est un nombre premier. On peut, par celle méthode, trouver tous les nombres premiers qui sont inférieurs à ou à ou à mais jamais on n’épuisera la suite des nombres premiers ; car cette suite, – comme Euclide le démontrait déjà. – est une suite infinie.
Pour aborder d’une manière plus rationnelle l’étude de la suite des nombres premiers, il convient de rechercher tout d’abord des propriétés qui caractérisent ces nombres et permettent de les distinguer des autres. Telles sont les propriétés formulées par deux célèbres théorèmies appelés théorème de Fermat et théorème de Wilson. Le théorème de Fermat, énoncé[1] sans démonstration par le grand arithméticien, prouvé plus tard et généralisé par Euter (1736), se formule ainsi : Si est un nombre premier et un nombre non divisible par la différence est divisible par en d’autres termes, on a :
Le théorème de Wilson, énoncé par Leibniz dans un manuscrit inédit[2], attribué à J. Wilson par Waring[3], s’énonce en ces termes : Si est un nombre premier, le nombres est divisible par il n’en serait pas ainsi, au contraire si n’était pas un nombre premier.
On est parti de ces théorèmes pour s’allaquer aux problèmes suivants : Les nombres premiers étant supposés rangés par ordre de grandeur croissante, quelle est, en fonction[4] de l’expression du ème nombre premier ? Étant donné un nombre arbitrairement grand, quel est, en fonction de le nombre des nombres premiers inférieurs à
L’étude de ces problèmes a entraîné les arithméticiens modernes loin des routes tracées par leurs devanciers, Gauss et Riemann en particulier, ont reconnu, au début du xixe siècle que les « fonctions » détinies par l’arithmétique sont étroitement apparen-
