467. — La résolution des « équations différentielles »[1], tant à cause des développements théoriques dont elle est le point de départ qu’en raison des applications géométriques et mécaniques auxquelles elle donne lieu, est l’un des problèmes fondamentaux de l’algèbre.
Soit ou une fonction inconnue d’une variable et ses dérivées successives ; si l’on sait que les quantités — dont la variation est déterminée par celle de — satisfont, quel que soit à une relation implicite (no 439)
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dont on connaît la forme, on peut parfois se servir de cette relation pour déterminer la nature de la fonction inconnue L’égalité ou relation (1) est appelée « équation différentielle entre et » ; la fonction est une solution on intégrale de cette équation[2] : si l’on a trouvé toutes les solutions d’une équation différentielle, on dit qu’on l’a intégrée.
Exemples. — Les relations
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où et désignent des fonctions connues de sont des équations différentielles. La relation qui ne contient pas est aussi une équation différentielle, et d’un type particulièrement simple : elle admet comme solutions les fonctions primitives de
468. — Une relation implicite entre plusieurs fonctions de leurs dérivées, et la variable sera, elle aussi, appelée équation différentielle. Mais cette relation à elle seule ne suffit pas à déter-