Appliquons à la fonction la formule des accroissements finis (no 420) relative à l’intervalle nous avons
(11)
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donc, d’après (10) :
Les valeurs et de et qui correspondent à la valeur de sont
elles sont manifestement comprises respectivement entre et et entre et d’ailleurs, par définition des fonctions et
L’égalité (11) n’est donc antre chose que l’égalité (8), que l’on se proposait de démontrer.
5. - Recherche des fonctions primitives
449. — L’étude d’une opération algébrique appelle l’étude de l’opération inverse : ainsi en a-t-il été pour l’addition et la soustraction, pour la multiplication et la division, pour l’élévation aux puissances entières et l’extraction des racines ; nous ne pouvons manquer de porter, pareillement, notre attention sur l’opération inverse de la dérivation et de nous poser la question suivante : Peut-on toujours trouver une fonction d’une variable qui admette pour dérivée une fonction donnée (connue)
450. — Faisons d’abord une remarque préliminaire. Il résulte du no 409 que si une fonction a pour dérivée la fonction où est une constante quelconque, a la même dérivée. Ainsi le problème que nous nous sommes posé ne peut comporter une solution unique. S’il existe une fonction il en existe une infinité, différant les unes des autres par des constantes ajoutées à leurs expressions. Ces fonctions seront appelées