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403. — Ces remarques faites, proposons-nous de poursuivre l’étude de la croissance ou de la décroissance d’une fonction algé brique. Pour faciliter cette étude, nous allons être amenés à définir une opération nouvelle, dont la portée est considérable : l’opération de la dérivation.

2. — Dérivées

404. Le rapports ${\frac {k}{h}}.$ — Considérons^[1] une fonction de $x,$ que je désignerai par le symbole $y(x),$ qui soit égale à $y_{0}$ pour $x$ égale à $x_{0},$ et univoque et continue au voisinage de $x_{0}.$ Je suppose que je fasse varier $x$ avec continuité à partir de $x_{0}$ (n^os397 sqq.) : cela revient à donner à $x$ un certain accroissement $h$ (d’ailleurs positif ou négatif) : la variable $x,$ en d’autres termes, passe de la valeur $x_{0},$ à la valeur $x=x_{0}+h.$ Pendant ce temps, la variable $y$ subit, elle aussi, un accroissement $k,$ positif ou négatif : elle passe de la valeur $y_{0}$ à la valeur $y=y_{0}+k.$

D’après le n^o 400, la fonction $y$ est croissante ou décroissante au voisinage de $x_{0},$ suivant que les accroissements $k$ et $h$ sont de même signe ou de signes contraires, et, par conséquent, suivant que le rapport ${\frac {k}{h}}$ est positif ou négatif. Ainsi le signe de ce rapport indique le sens de la variation de la fonction. Ce n’est pas tout : la valeur absolue du rapport ${\frac {k}{h}}$ peut être considérée comme donnant la mesure de la rapidité avec laquelle la fonction $y$ est croissante ou décroissante lorsque $x$ varie de $x_{0}$ à $x_{0}+h.$ En effet, si ce rapport

1. La notion de dérivée est, comme nous le verrons au chap. iii, § 3, intimement liée à celle de tangente à une courbe, et c’est sous ce vêtement géométrique qu’elle apparut d’abord dans la science ; elle fut définitivement tirée au clair par Newton et Leibniz [voir infra, Trois. Liv., chap. ii]. C’est de l’œuvre de ce dernier géomètre que procède historiquement le calcul des dérivées tel que nous le pratiquons aujourd’hui : les règles principales en sont exposées dans le traité « Nova methodus pro maximis et minimis itemque tangentibus, quæ nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus » qui fut publié dans les Acta eruditorum en 1684. Le mot derivare est introduit par Leibniz dans sa Réponse à Newton de 1677 (Mathem. Werk., t. I, p. 154-62.