Page:Boutroux - Les principes de l’analyse mathématique.djvu/38

tique tout entière un rôle prépondérant, et leur importance avait déjà été reconnue par les Pythagoriciens.

23. Décomposition en facteurs premiers. – Tout nombre $a$ est divisible par $1$ (le quotient est a). – Tout nombre est divisible par lui-même (le quotient est $1).$ – Un nombre qui n’admet pas d’autre diviseur que lui-même et l’unité est appelé « nombre premier ». Ainsi les nombres $1,2,3,5,7,11,13$ sont des nombres premiers ; les nombres $4,6,9$ ne sont pas premiers.

Soit $n$ un nombre quelconque je dis que ce nombre peut toujours être mis sous la forme d’un produit dont tous les facteurs sont des nombres premiers.

En effet, si $n$ n’est pas premier, on démontre^[1] qu’il admet sûrement un diviseur premier, $a.$ Appelant le quotient $n_{1},$ nous aurons (8) :

$n=a\times n_{1},$

$n_{1}$ étant plus petit que $n.$

Si $n_{1}$ est premier, le théorème est démontré. Si $n_{1}$ n’est pas premier, il admet un diviseur premier, $b.$ Appelant $n_{2}$ le quotient ${\frac {n_{1}}{b}},$ j’aurai l’égalité :

$n=a\times b\times n_{2},$

$n_{2}$ étant plus petit que $n_{1}.$

Si $n_{2}$ est premier, le théorème est démontré. Si $n_{2}$ n’est pas premier, on le décomposera comune $n,n_{1},n_{2}.$ Et ainsi de suite.

Les nombres $n_{1},n_{2},n_{3},\ldots$ vont en diminuant ; il est donc certain qu’après avoir répété un nombre suffisant de fois la même opération, on tombera sur un nombre^[2] $n_{p}$ qui est égal à $1\,;$ on s’arrêtera à ce moment-là.

Ainsi le nombre $a$ peut être mis sous la forme d’un produit de facteurs premiers a,b,\ldots l. En réunissant, s’il y en a, (conformément à la définition des exposants), les facteurs premiers égaux nous obtiendrons finalement notre nombre $n$ sous la forme^[3].

$n=a^{\alpha }\times b^{\beta }\times \ldots \times l^{\lambda }.$

1. Voir les traités d’arithmétique élémentaire,
2. L’indico $p$ indique le nombre des divisions effectuées.
3. Nous remplaçons par des points les facteurs que nous n’écrivons point et dont nous ne précisons pas le nombre.