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21. Progressions géométriques. – On appelle ainsi une suite de nombres dits termes de la progression ; dont chacun est moyen géométrique entre ses deux voisins.

Représentons les termes de la suite par les symboles (cf. 16) :

a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,\ldots ,\,a_{n},

et supposons que chacun d’eux se déduise du précédent en le multipliant par un nombre^[1] $b$ (toujours le même et différent de $1).$

Nous aurons, pour les termes successifs de la progression, les valeurs suivantes :

{\begin{alignedat}{2}a_{1}\,;\qquad a_{2}=&a_{1}\times b\,;\qquad &a_{3}=a_{2}\times b=&a_{1}\times b^{2}\,;\\a_{4}=a_{3}\times b=&a_{1}\times b^{3}\,;&\quad \ldots \,;\quad a_{n}=&a_{1}\times b^{n-1}.\end{alignedat}}

et, par conséquent :

a_{2}^{2}=a_{1}\times a_{1}\,;\qquad a_{3}^{2}=a_{2}\times a_{1}\,;{\text{ etc}}.

Le nombre $b$ est appelé « raison » de la progression.

Proposons-nous de calculer la somme des $n$ premiers termes d’une progression géométrique dont le premier terme est $a_{1}$ et la raison $b.$

La somme cherchée a pour valeur

a_{1}\times \left(1+b+b^{2}+\ldots +b^{n-1}\right).

Pour simplifier cette expression, effectuons la multiplication de la somme $\left(1+b+b^{2}+\ldots +b^{n-1}\right)$ par le nombre $b-1.$ Il est facile de vérifier que nous obtenons, comme produit, le nombre $b^{n}-1.$ En d’autres termes, nous avons l’égalité

1+b+b^{2}+\ldots +b^{n-1}={\frac {b^{n}-1}{b-1}},

et il en résulte que la somme cherchée a pour valeur le produit^[2]

a_{1}\times {\frac {b^{n}-1}{b-1}},\quad {\text{ou}}\quad {\frac {a_{1}\times b^{n}-a_{1}}{b-1}}.

↑ On déduit de là que

${\frac {a_{2}}{a_{1}}}={\frac {a_{3}}{a_{2}}}={\frac {a_{4}}{a_{3}}},$ etc.
↑ « Soit, dit Chuquet dans son Triparty (1484), – le dernier nombre multiplié par le dénominateur de la proportion [c.-à.-d. par la raison de la progression], de laquelle multiplication soit ôté le premier, soits ou autre nombre quel qu’il soit ; et le résidu soit party [divisé) par $1$ moins que n’est le dénominateur d’icelle [la raison] »,

[1] On déduit de là que

${\frac {a_{2}}{a_{1}}}={\frac {a_{3}}{a_{2}}}={\frac {a_{4}}{a_{3}}},$ etc.

[2] « Soit, dit Chuquet dans son Triparty (1484), – le dernier nombre multiplié par le dénominateur de la proportion [c.-à.-d. par la raison de la progression], de laquelle multiplication soit ôté le premier, soits ou autre nombre quel qu’il soit ; et le résidu soit party [divisé) par $1$ moins que n’est le dénominateur d’icelle [la raison] »,

[1]

[2]