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m est alors moyen arithmétique (moyenne, au sens usuel du mot) entre $a$ et $b.$

2^o Médiété géométrique, lorsqu’on a

$m^{2}=a\times b\,;$

m est alors moyen géométrique (ou moyenne proportionnelle) entre $a$ et $b\,;$ si $a$ est divisible^[1] par $m,$ on pourra écrire

${\frac {a}{m}}={\frac {m}{b}}.$

3^o Médiété harmonique, lorsque l’on a^[2]

$2\times a\times b=m\times (a+b)\,;$

$m$ est alors moyen harmonique entre $a$ et $b.$

Les médiétés interviennent dans une foule de problèmes, aussi bien en géométrie qu’en arithmétique. La médiété géométrique, en particulier, permet de définir certaines suites de nombres remarquables que l’on appelle « progressions géométriques ». Ces suites ont été étudiées par les Grecs, mais on en trouve déjà un exemple dans le traité de l’Egyptien Ahmes.

définitions qui suivent subsistent sans modifications lorsque les nombres $a,b,m$ ne sont pas entiers (Vide infra, n^os 38 et 116).

Si l’on connaît la théorie des proportions, on pourra écrire comme il suit les égalités qui définissent les médiétés :

Médiété arithmétique :

${\frac {a-m}{m-b}}={\frac {a}{a}}\,;$

Médiété géométrique :

${\frac {a-m}{m-b}}={\frac {a}{m}}\,;$

Médiété harmonique :

${\frac {a-m}{m-b}}={\frac {a}{b}}.$
1. Et dans tous les cas si l’on connaît le calcul des fractions.
2. Si l’on connaît le calcul des fractions, on reconnaît, en divisant chaque membre par $m\times a\times b,$ que cette égalité équivaut à
   ${\frac {2}{m}}={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}.$