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ils furent, dans les temps modernes, le point de départ de nouvelles généralisations, dont la plus remarquable est sans doute le triangle arithmétique de Pascal^[1].

Pascal forme le tableau ci-contre, qui peut être continué aussi loin que

l’on veut. Dans ce tableau, les nombres de la première ligne sont tous égaux à l’unité ; les nombres de la seconde ligne sont les nombres ordinaires ou « naturels »; la troisième ligne contient les nombres triangulaires ; la quatrième ligne contient les nombres pyramidaux :
${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c}\hline 1&1&1&1&1&1&1\\\hline 1&2&3&4&5&6\\\hline 1&3&6&10&15\\\hline 1&4&10&20\\\hline 1&5&15\\\hline 1&6\\\hline 1\end{array}}$

les lignes suivantes contiennent de nouvelles classes de nombres qui sont toutes définies de la même manière, le $n$^ème nombre de chaque classe étant égal à la somme des $n$ premiers nombres de la classe précédente.

Le triangle arithmétique jouit de nombreuses et fort belles propriétés qu’il serait malheureusement trop long de rapporter ici (Cf. n^o 265).

20. Médiétés. – Les arithméticiens grecs ont étudié sous le nom de médiétés certaines associations remarquables de nombres qui relèvent à proprement parler de la théorie des proportions (vide infra n^o 96), mais que nous pouvons mentionner dès maintenant.

Théon de Smyrme distingue dis sortes de médiétés pouvant avoir lien entre trois nombres a,b,m\,; il y en a trois qui sont fondamentales^[2] :

1^o Médiété arithmétique, lorsqu’on a

$a-m=m-b,$

d’où l’on tire

$2\times m=a+b\,;$

1. Voir le Traité du triangle arithmétique, écrit par Pascal en 1654. (Œuv., p. 433 suiv.) Les nombres de Pascal avaient été donnés antérieuretnent, avec une disposition différente, par Michel Stifel, (Arithmetica Integra, Nüremberg, 1543) et par quelques autres auteurs.
2. Cf. Milhard, Les philosophes géomètres de la Grèce, 1900, p. 92. Les