PROPRIÉTÉS DE LA SUITE CROISSANTS DES NOMBRES 17
impairs, les anciens ont envisagé d’autres suites de nombres qui jouissent de propriétés analogues. Considérons une suite de nombres satisfaisant aux conditions suivantes : 1° la suite est croissante, ce qui signifie que tout nombre de la suite est supérieur aux nombres qui le précèdent et inférieur au nombres qui le suivent ; 2° deux nombres consécutifs quelconques pris au hasard dans la suite ont pour différence un même nombre r chaque nombre surpasse le précédent de r unités . Lorsque ces conditions sont satisfaites, on dit que la suite est une « progression arithmétique » ; les nombres de la suite sont les « termes» de la progression ; le nombre r en est la « raisan »).
Soit a le premier terme d’une progression arithmétique de raison r : le second terme est a + r ; le troisième terme est a + 2 x r; le nème terme est n + n-1 x r. Nous déduisons facilement de là l’expression de la somme des n premiers termes de la progression. En effet cette somme comprend :
n fois le nombre a.
(’) ces définitions subsisteront, sans modifications, torique les nombres de la suite ne seront pas des nombres entiers [l'ide infra, n°38 et 116).
(’) Dans la Papyrus Rhind (voir p. 3, note 2), l'Égyptien AUMES pose le problème suivant : « Distribuer dix mesures de blé entre dix personnes de manière que chaque personne ait ⅛ de mesure en moins que la personne qui a reçu avant elle. Les fractions de mesure de blé qui, d’après cet énoncé, doivent revenir aux différentes personnes sont respectivement
7/16, 7/16 + 1/8, 7/16 + 2/8, etc.
Cette suite de quantités est une progression arithmétique dont les termes sont des fractions. D’autres problèmes traités dans le même papyrus nous confirment dans l’opinion que les calculateurs égyptiens savaient manier les progressions arithmétiques. Plus récemment, les progressions furent familières aux arithméticiens de la Grêce et de l’Inde. Les Arabes les firent connaître à l’Occident.
(’) Il résulte de ces définitions que la suite croissante des nombres est une progression arithmétique de raison 1. La suite croissante des nombres pairs ou des nombres impairs est une progression arithmétique de raison 2.
Bo rous — Les principes de l'Analyse mathématique
