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ces trois points sont en ligne droite) est appelée théorème de Menelas (ou Menelaus) [voir la note p. 215].

210. — Dans les Collections mathématiques^[1] de Pappus d’Alexandrie (iv^e siècle), nous trouvons une proposition dont l’importance a été soulignée par Chasles^[2] : Quand quatre droites d’un plan sont issues d’un même point, elles forment sur une droite transversale menée arbitrairement dans leur plan, quatre segments qui ont entre eux, un certain rapport constant.

Ainsi, soient $\mathrm {A,B,C,D}$ les points où quatre droites sont rencontrées par une transversale quelconque (fig. 196), et $\mathrm {AC,AD,BC,BD}$ les quatre segments qu’ils déterminent : le rapport $\mathrm {{\frac {CA}{CB}}:{\frac {DA}{DB}}}$ aura la même valeur quelle que soit la transversale ^[3].

↑ En grec : Συναγωγή.
↑ Chasles, Aperçu historique, etc. 2^e éd. 1875, p. 33.
↑ Considérons une seconde transversale qui coupe nos droites en $\mathrm {A',B',C',D'} .$ Menons par les points $\mathrm {B,B'}$ les parallèles $\mathrm {B} cd,\mathrm {B} 'c'd'$ à $\mathrm {OA}$ voir fig. 126. Les triangles semblables $\mathrm {COA,CB} c,$ et $\mathrm {DOA,DB} d,$ donnent

$\mathrm {\frac {CA}{CB}} ={\frac {\mathrm {OA} }{c\mathrm {B} }}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {\frac {DA}{DB}} ={\frac {\mathrm {OA} }{d\mathrm {B} }}.$

Divisant membre à membre, j’obtiens :

$\mathrm {{\frac {CA}{CB}}:{\frac {DA}{DB}}} ={\frac {\mathrm {OA} }{c\mathrm {B} }}:{\frac {\mathrm {OA} }{d\mathrm {B} }}={\frac {d\mathrm {B} }{c\mathrm {B} }}.$

On démontrera de même que

$\mathrm {{\frac {C'A}{C'B}}:{\frac {D'A'}{D'B'}}} ={\frac {d'\mathrm {B} '}{c'\mathrm {B} '}}\,;$

Mais l’on a (théorème de Thalès) :

$\mathrm {\frac {OB}{OB'}} ={\frac {d\mathrm {B} }{d'\mathrm {B} '}}={\frac {c\mathrm {B} }{c'\mathrm {B} '}}\,;$

donc (interversion des moyens, 96) ${\frac {d\mathrm {B} }{c\mathrm {B} }}={\frac {d'\mathrm {B} '}{c'\mathrm {B} '}}\,;$ donc

$\mathrm {{\frac {CA}{CB}}:{\frac {DA}{DB}}} =\mathrm {{\frac {C'A'}{C'B'}}:{\frac {D'A'}{D'B'}}} \,;$

ce qu’il fallait démontrer.

[1] En grec : Συναγωγή.

[2] Chasles, Aperçu historique, etc. 2^e éd. 1875, p. 33.

[3] Considérons une seconde transversale qui coupe nos droites en $\mathrm {A',B',C',D'} .$ Menons par les points $\mathrm {B,B'}$ les parallèles $\mathrm {B} cd,\mathrm {B} 'c'd'$ à $\mathrm {OA}$ voir fig. 126. Les triangles semblables $\mathrm {COA,CB} c,$ et $\mathrm {DOA,DB} d,$ donnent

$\mathrm {\frac {CA}{CB}} ={\frac {\mathrm {OA} }{c\mathrm {B} }}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {\frac {DA}{DB}} ={\frac {\mathrm {OA} }{d\mathrm {B} }}.$

Divisant membre à membre, j’obtiens :

$\mathrm {{\frac {CA}{CB}}:{\frac {DA}{DB}}} ={\frac {\mathrm {OA} }{c\mathrm {B} }}:{\frac {\mathrm {OA} }{d\mathrm {B} }}={\frac {d\mathrm {B} }{c\mathrm {B} }}.$

On démontrera de même que

$\mathrm {{\frac {C'A}{C'B}}:{\frac {D'A'}{D'B'}}} ={\frac {d'\mathrm {B} '}{c'\mathrm {B} '}}\,;$

Mais l’on a (théorème de Thalès) :

$\mathrm {\frac {OB}{OB'}} ={\frac {d\mathrm {B} }{d'\mathrm {B} '}}={\frac {c\mathrm {B} }{c'\mathrm {B} '}}\,;$

donc (interversion des moyens, 96) ${\frac {d\mathrm {B} }{c\mathrm {B} }}={\frac {d'\mathrm {B} '}{c'\mathrm {B} '}}\,;$ donc

$\mathrm {{\frac {CA}{CB}}:{\frac {DA}{DB}}} =\mathrm {{\frac {C'A'}{C'B'}}:{\frac {D'A'}{D'B'}}} \,;$

ce qu’il fallait démontrer.

[1]

[2]

[3]