Remarquons d’abord que lorsque la sécante issue de passe par le centre et occupe la position elle est perpendiculaire sur la droite Nous pouvons alors donner du théorème d’Apollonius l’énoncé suivant, qui est valable[1], non seulement quand le point est extérieur au cercle (cas de la fig. 121) mais aussi quand il est situé à l’intérieur (cas de la fig. 122 :
Appelons le diamètre du cercle qui passe par par le point donné
le conjugué harmonique du point par rapport aux points et la droite (indéfiniment prolongée) qui est menée par le point perpendiculairement au diamètre (ou à son prolongement). Menons d’autre part, par le point une sécante arbitraire ; appelons et ses points de rencontre avec la circonférence, le point où elle coupe les points et sont toujours conjugués harmoniques par rapport aux points et
D’après une terminologie introduite au début du {{|xiv}} la droite est dite « polaire » du point le point est dit « pôle » de la droite
Pour obtenir le pôle, quand la droite est donnée, il suffit de mener par le centre du cercle la perpendiculaire sur et de déterminer le point de cette droite qui est conjugué harmonique de par rapport à et à
207. – Je dis que le pôle de toute droite passant par un point est sur la polaire de ce point. Soit, en effet, une droite quelconque menée par le point (fig. 123) [la démonstration est la même si le point est hors du cercle] et soit le pôle de D’après ce qui précède, le point est le conjugué harmonique du point par rapport aux points et où la droite coupe le cercle. – D’autre part, le point de rencontre de la polaire du point avec la droite est aussi le point conjugué harmonique du
- ↑ Ceci résulte de la démonstration du théorème (vide infra. Deux. liv., ch. iv.
